6.4. Обчислення визначного інтеграла за допомогою пакету Maxima
Визначний інтеграл в символьному режимі (аналітично) обчислюється за допомогою команди
integrate(f, x, а, b)
де f – підінтегральна функція, x – змінна інтегрування, а і b відповідно верхня і нижня границя інтегрування.
Приклади. Обчислити інтеграл:
1)
У ячейку введення задаємо команду
(%i4) integrate((1+cos(x))^2,x,0,%pi);
отримуємо результат
(%o4) (3*%pi)/2.
2)
(%i14) integrate(cos(2*x)*exp(-х),x,0,3);
(%o14) (%e^(-3)*(2*sin(6) -cos(6)))/5+1/5
(%i15) %o14, numer;
(%o15) 0.184874675854
Чисельне інтегрування виконується функцією romberg або за допомогою функцій пакету quadpack.
Обчислислення інтеграла за допомогою інтерфейсного вікна
У стоці меню вибираємо кнопку Аналіз → Integrate (Рис. 6.1), в результаті виникає допоміжне вікно для введення підінтегральної функції і границь інтегрування Інтегрувати (Рис. 6.2), тут же вказується режим інтегрування (чисельне), а також метод інтегрування romberg або quadpack.
Рис. 6.1.
Рис. 6.2.
Натискуємо на клавішу Ok в робочому вікні з‘явиться ячійка введення і результат інтегрування
(%i2) quad_qags(tan(x)/(sin(x)^2-5*cos(x)^2+4), x %pi/4, acos(1/sqrt(3)));
(%o2) [0.081093021621633,9.0031339740762459*10^-16,21,0]
У ячейкі виводу (%о2) масив результату обчислення містить:
0.081093021621633 – наближене значення інтеграла;
9.0031339740762459*10^-16 – відносна погрішність обчислень;
21 – число інтервалів розбиття;
0 – ознака коректності обчислень (0 – без проблем).
Приклади для самостійного розв‘язку
Обчислити визначний інтеграл за допомогою пакету Maxima
6.50.
(
)
dx
.
Відповідь:
6.51.
(
)
dx
.
Відповідь:
6.52.
(
)
dx
.
Відповідь:
6.53.
(
)
dx
. Відповідь:
6.54.
(
)
dx
.
Відповідь:
6.55.
(
)
dx
.
Відповідь:
6.56.
(
)
dx.
Відповідь:
6.57.
(
)
dx
. Відповідь:
6.58.
(
)
dx
.
Відповідь:
6.59.
(
)
dx.
Відповідь:
6.60.
(
)
dx.
Відповідь:
6.61.
(
)
dx.
Відповідь:
6.62. ( ) dx . Відповідь:
6.63.
(
)
dx.
Відповідь:
6.64.
(
)
dx.
Відповідь:
6.5. Застосування визначного інтеграла
6.5.1. Обчислення площ плоских фігур
Прямокутні координати
Площа криволінійної трапеції, яка обмежена графіком функції f(x) (Рис.6.3. S > 0, Рис.6.4. S < 0)).
Рис. 6.3. Рис. 6.4.
.
(6.5)
Площа фігури, яка обмежена кривими y = f1 (x) і y = f2 (x) (Рис. 6.5)
.
(6.6)
Рис. 6.5.
Приклади.
1.
Обчислити площу фігури, яка обмежена
графіком функції у
= sin x
і віссю Ох
при
.
Побудуємо дану фігуру (рис. 6.6)
Рис. 6.6.
Використовуючи формулу (6.5), знаходимо шукану площу фігури
(кв. од.)
2.
Обчислити площу фігури, яка обмежена
лініями у
= х,
,
х
= 2
.
Побудуємо дану фігуру (рис. 6.7)
Рис. 6.7.
Знаходимо
границі інтегрування : точка перетину
ліній у
= х,
має абсцису
, отже, проміжок інтегрування -
.
За формулою (6.6) визначаємо площу фігури
(кв. од.)
3.
Обчислити площу фігури, яка обмежена
лінями
і
.
Побудуємо фігуру, площу якої необхідно обчислити (рис. 6.8).
Рис. 6.8.
Знаходимо
точку перетину ліній
і
. Розв‘язуємо рівняння
,
маємо
або
,
звідки
. З рисунка видно, що границями інтегрування
є
. Визначаємо площу фігури, використовуючи
формулу (6.6)
(кв. од.)
Параметричні координати
Площа криволінійна трапеція обмежена кривою
,
прямими
і
і віссю Ох,
то її площа визначається по формулі
,
(6.7)
де α і
β визначаються з рівності
і
.
Приклади.
1. Знайти площу фігури обмеженою еліпсом, який заданий в параметричній формі
.
Побудуємо фігуру, площу якої необхідно визначити (рис. 6.9). Знайдемо четверту частину площі S еліпса, яка розташована в першій чверті коор-динатної площини (на рисунку вона зображена сірим кольором). Тут х змінюється від 0 до а , тоді t змінюється від π / 2 до 0. По формулі (6.7) знаходимо
Рис. 6.9.
=
=
.
Таким чином,
.
Значить
.
2. Обчислити площу фігури, обмеженої однієї аркою циклоїди і віссю Ох.
Циклоїда
є траєкторія точки, розташованої на
ободі колеса радіусу а,
при рівномірному коченні колеса по осі
Ох.
При одному звороті колеса
центр колеса переміститься на відстань
(рис. 6.10).
Рис. 6.10.
Рівняння циклоїди в параметричній формі має вигляд
,
При
зміні
параметр t
змінюється
в межах
.
По формулі (6.7) знаходимо шукану площу
=
=
=
=
.
Полярні координати
Площа S криволінійного сектора визначається формулою
.
(6.8)
Рис. 6.11.
Приклади.
1.
Обчислити
площу фігури, яка обмежена полярною
віссю і першим витком спіралі Архімеда:
,
де а
— позитивне число (рис. 6.12).
Мал. 6.12.
Розв‘язування.
При
зміні
від 0 до 2π полярний радіус описує криву,
що обмежує криволінійний сектор ОАВС.
Тому по формулі (6.8) маємо
.
Відстань
від точки С
до полюса рівно
.
Тому круг радіусу ОС має площу π
∙OC2
= 4 π3
a2
=
3 ∙
.
2. Другий закон Кеплера (закон площ) про рух планет сонячної системи свідчить: площа, що описується радіусом-вектором планети, проведеному з центру Сонця, зростає пропорційно часу.
Користуючись цим законом площ, покажемо, що швидкість планети VП в найближчій до Сонця точці орбіти П (перигелій) буде найбільшою, а в найбільш віддаленій від Сонця точці А (афелій) – швидкість буде найменшою (рис. 7.15).
Розглянемо переміщення планети в околицях точок А (афелій) і П (пе-
ригелій),
за законом Кеплера площі секторів
і
рівні між собою, тобто
Рис. 6.13.
де
- площа сектора, що спирається на дугу
,
довжина цієї дуги дорівнює
,
аналогічно
- площа сектора, що спирається на дугу
,
довжина цієї дуги дорівнює
.
З формули для площі криволінійного сектора (7.8) витікає, що
або
,
тобто
.
Тут
і
переміщення планети за один і той же
проміжок часу
в околиці точок А
і П
орбіти. Розділимо попередню рівність
на проміжок часу :
.
Відношення переміщення планети до часу є швидкість планети в точці А, аналогічне відношення переміщення до часу є швидкість планети в точці П, тобто
,
.
В
результаті
або
,
звідки витікає, що
.