142

6. Визначний інтеграл

6.1. Основні визначення і формули.

Якщо при будь-якому розбиванні відрізка [а, b] на часткові таких, що maxx_i 0 і довільному виборі точок с_i ϵ x_i інтегральна сума прагне до границі I, то це число називається визначним інтегралом від функції y = f(x) на відрізку [а, b] і позначається

Таким чином = . (6.1)

Основні властивості визначного інтеграла

1. (С – const),

2. .

3. .

4. .

5) Для довільних чисел а, b, с справедлива рівність:

.

6. Якщо функція f(x) зберігає знак на відрізку [а, b], де а < b, то інтеграл має той же знак, що і функція.], то

(якщо ), або (якщо ).

6. Якщо f(x)  (x) на відрізку [а, b] (а < b), то .

7. Якщо m і M – відповідно найменше і найбільше значення функції f(x) на відрізку [а, b] (а < b), то:

.

6. Якщо функція f(X) неперервна на відрізку [а, b], то на цьому відрізку існує

точка така, що .

10) Похідна визначного інтеграла по змінній верхній границі дорівнює підінтегральної функції .

6.2. Обчислення визначного інтеграла

Формула Ньютона-Лейбніца. . (6.2)

Формула Ньютона – Лейбніца є загальний підхід до знаходження визначних інтегралів, якщо відома первісна функція F(x).

Приклади. Обчислити інтеграл

1. ;

2. ;

3. .

Інтегрування підстановкою (заміна змінної x = (t))

. (6.3)

Приклад.

Інтегрування частинами (6.4)

6.3. Задачі для самостійного розв‘язку

Обчислити визначний інтеграл

a). За допомогою формули Ньютона-Лейбниця, знайти інтеграли

6.1. . Відповідь: 6.2. . Відповідь:

6.3. . Відповідь: 6.4. . Відповідь:

6.5. . Відповідь: 6.6. . Відповідь:

6.7. . Відповідь:

b). Обчислити інтеграли за допомогою метода підстановки

6.8. . Відповідь: 6.9. . Відповідь:

6.10. . Відповідь: 6.11. . Відповідь:

6.12. . Відповідь: 6.13. . Відповідь:

6.14.  Відповідь: 6.15.  Відповідь:

6.16.  Відповідь: 6.17. Відповідь:

6.18.  Відповідь: 6.19.  Відповідь:

6.20. Відповідь: 6.21. Відповідь:

6.22.  Відповідь: 6.23.  Відповідь:

c). Обчислити інтеграли за допомогою метода інтегрування частинами

6.24. . Відповідь: 6.25. . Відповідь:

6.26. . Відповідь: 6.27. . Відповідь:

6.28. Відповідь: 6.29. . Відповідь:

6.30. . Відповідь: 6.31. . Відповідь:

6.32.  Відповідь: 6.33. Відповідь:

6.34. Відповідь: 6.35. Відповідь:

6.36. Відповідь: 6.37. Відповідь:

6.38. Відповідь: 6.39. Відповідь:

d) Застосовуючи різні методи інтегрування, обчислити такі визначені

інтеграли:

6.40. Відповідь: 6.41. Відповідь:

6.42. Відповідь: 6.43. Відповідь:

6.44. Відповідь: 6.45. Відповідь:

6.46. Відповідь: 6.47. Відповідь:

6.48. Відповідь: 6.49. Відповідь: