3.5.2. Прямая линия на плоскости. Основные задачи.

Угол между двумя прямыми и условие параллельности и

перпендикулярности двух прямых

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

у = k₁ x + b₁ (l₁) и у = k₂ x + b₂ (l₂) (см. рис. 3.18). Требуется найти угол φ между прямыми l₁ и l₂ .

Решение. Имеем (по теореме о внешнем угле треугольника) или . Если , то .

Но , , поэтому Рис. 3.18.

, (3.46)

откуда легко получить величину искомого угла.

Если требуется вычислить острый угол между прямыми, то правая часть формулы (3.46) берётся по модулю .

Если прямые l₁ и l₂ параллельны, то φ = 0 и tg φ = 0. Из формулы (3.46) следует k₂ – k₁ = 0 , т.е. k₂ = k₁.

• Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов k₁ = k₂.

Если прямые l₁ и l₂ перпендикулярны, φ = . Из формулы (3.46) следует

1 + k₁ ∙ k₂ = 0, т.е. k₁ ∙ k₂ = - 1.

• Таким образом, условием перпендикулярности двух прямых является равенство k₁ ∙ k₂ = - 1 .

Расстояние от точки до прямой

Пусть заданы прямая l уравнением А х + В у + С = 0 и точка М₀(х₀,у₀) (см. рис. (3.19). Требуется найти расстояние от точки М₀ до прямой l.

Решение. Расстояние d от точки М₀ до прямой l равно модулю проекции вектора М₁М₀ , где М₁(х₁,у₁) – произвольная точка прямой l , на направление нормального вектора = (А,В). Следовательно,

Рис. 3.19.

= = .

Так как точка М₁(х₁,у₁) принадлежит прямой l , то Ах₁ + Ву₁ + С = 0, т.е.

С = - Ах₁ - Ву₁ . Поэтому

d = . (3.47)

Задачи для самостоятельного решения

1. Задани координати трьох точок трикутника АВС. Скласти рівняння площини АВС.

2. Знайти відстань точки М₀ (х₀, у₀, z₀) до площини .

3. Знайти рівняння прямій, яка проходить через точку паралельно прямій .

4. Знайти кут між площинамі і .

5. Знайти рівняння прямій, яка проходить через точку паралельно вектору { а_х ; а_у ; а_z }.

6. Знайти кут між прямій та площиною .

7. Задани вершини трикутника АВС ( координати точок А, В і С відоми), Знайти рівняння сторони АС цього трикутника.

8. Задани вершини трикутника АВС ( координати точок А, В і С відоми), Знайти рівняння медиани, яка проведена з вершини С цього трикутника.

9. Побудувати рівняння площини, яка проходить через точку перпендикулярно к прямій .

10. Знайти кут між двома прямимі

і .

11. Знайти точку перетину прямої з площиною Aх + Bу + Cz = D.

12. Знайти рівняння прямої в канонічної формі, якщо ії рівняння у загальному

вигляді є .

13. Знайти кут між двома прямимі на площині і .