3.4.2. Плоскость в пространстве. Основные задачи.

Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности

и перпендикулярности двух плоскостей.

Пусть заданы две плоскости π₁ и π₂ :

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0

A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0.

Угол φ между двумя плоскостями π₁ и π₂ определяется углом между нормальными векторами ₁ = (А₁,В₁,С₁) и ₂ = (А₂,В₂,С₂) плоскостей π₁ и π₂. Поэтому или

. (3.24)

Для определения острого угла между двумя плоскостями следует взять модуль правой части.

Если плоскости π₁ и π₂ перпендикулярно, то перпендикулярны и нормальные векторы ₁ и ₂, т.е. ₁ ∙ ₂ = 0 или

А₁ А₂ + B₁ B₂ + C₁ C₂ = 0. (3.25)

Полученное равенство (3.25) и есть условие перпендикулярности двух плоскостей.

Если плоскости π₁ и π₂ параллельны, то параллельны и нормальные векторы ₁ и ₂, т.е. ₁ = λ ₂ или

. (3.26)

Это и есть условие параллельности двух плоскостей π₁ и π₂.

Расстояние от точки до плоскости.

Пусть задана точка М₀(х₀,у₀,z₀) плоскость π своим уравнением

A x + B y + C z + D = 0. Требуется найти расстояние от точки М₀ до плоскости π.

Расстояние d от точки М₀ до плоскости π равно модулю проекции вектора М₁М₀ , где М₁(х₁,у₁,z₁) – произвольная точка плоскости π, на направление нормального вектора = (А,В,С) (рис. 3.13). Следовательно,

= = .

Рис. 3.13.

Так как точка М₁(х₁,у₁,z₁) принадлежит плоскости π, то Ах₁+Ву₁+Сz₁ + D = 0, т.е. D = - Ах₁ - Ву₁ – Cz₁ . Поэтому

d = . (3.27)

Это и есть искомое расстояние d от точки М₀ до плоскости π .

3.4.3. Уравнение прямой в пространстве

Положение прямой в пространстве вполне определено, если заданы точка М на данной прямой и вектор , параллельный прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой.

Канонические уравнения прямой

Пусть в прямоугольной системе координат задана точка М₀(х₀,у₀,z₀), принадлежащая искомой прямой, а также направляющий вектор прямой l с координатами = (m,n,p). Определить уравнение прямой l .

Выделим произвольную текущую точку прямой М(х,у,z) и рассмотрим вектор , этот вектор параллелен направлющему вектору прямой. Поэтому координаты вектора = (x - x₀, y - y₀, z - z₀) вектора = (m,n,p) пропор циональны

Рис. 3.14 . (3.28)

Уравнение (3.28) называется каноническим уравнением прямой в пространстве.

Замечание. Обращение в ноль одного из знаменателей уравнений (3.28) означает обращение в ноль соответствующего числителя.

Например, уравнения задают прямую, проходящую через точку М (2, -4, -1) перпендикулярно оси Оу (проекция вектор на ось Оу равна нулю). А это означает, что прямая лежит в плоскости у = - 4 и для всех точек прямой у + 4 = 0.

Параметрическое уравнение прямой.

Каждое из соотношений уравнений (3.28) приравняем некоторому параметру t

= t,

откуда следуют равенства

. (3.29)

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая проходит через две точки М₁(х₁,у₁,z₁) и М₂(х₂,у₂,z₂), тогда в качестве направляющего вектора искомой прямой l можно взять вектор = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁) , т.е. = (см. рис. 3.15).

Рис. 3.15

Следовательно m = x₂ - x₁, n = y₂ - y₁, p = z₂ - z₁ , а так как прямая l проходит через точку М₁(х₁,у₁,z₁), то искомое уравнение прямой согласно (3.43) имеет вид:

. (3.30)

Полученное уравнение называется уравнением прямой в пространстве проходящей через две точки.

Общее уравнение прямой

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей

. (3.31)

Каждое из уравнений (3.31) определяет плоскость. Если плоскости не параллельны (координаты векторов ₁ (A₁ , B₁ , C₁) и ₂ (A₂ , B₂ , C₂) не пропорциональны), то система (3.31) определяет прямую l как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы (3.31). Уравнения (3.31) называют общими уравнениями прямой.