3.5 Аналитическая геометрия на плоскости

3.5.1. Линии на плоскости.

Уравнение линии на плоскости

Линия на плоскости обычно задаётся как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Координатный метод позволяет рассматривать уравнение линии.

Определение 3.14. Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x,y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащие на этой линии.

Переменные х и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линий заменить исследованием его уравнения.

Уравнение прямой на плоскости.

Изучение геометрических объектов естественно начать с простейшего образа – прямых. Покажем, что этому объекту соответствует уравнение 1-ой степени.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу. Её положение вполне определяется ординатой b точки N(0,b) пресечения осью Оу и углом α между осью Ох и прямой (см. рис. 3.15)

Под углом α наклона прямой понимается наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Ох по ходу часовой стрелки прямой до её совпадения с осью Ох. Возьмём на прямой произвольную точку М(х,у) (см. рис. 3.11). Вычислим ординату у точки М , из рисунка видно, что

y = MN sin α + b и х = MN cos α

Рис. 3.15. В результате, так как MN = x / cos α , имеем

y = x ∙ tg α + b . Введём обозначение tg α = k получим уравнение

y = k ∙x + b , (3.39)

которому удовлетворяют координаты любой точки М(х,у) прямой.

Определение 3.15. Число k = tg α называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (3.20) – уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая параллельна оси Оу , то α = π/2, уравнение (3.20) теряет смысл, т.к. k = tg π/2 не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид

х = а, (3.40)

где а – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох.

Общее уравнение прямой

Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем виде

А х + В у + С = 0, (3.41)

где А, В, С – произвольные числа, причём А и В не равны нулю одновременно.

Покажем, что уравнение (3.41) есть уравнение прямой линии. Если В ≠ 0, то из уравнения (3.41) получим у = -(А/В) х – (С/В) . А это – уравнение прямой с угловым коэффициентом k = tg α = -(А/В). Следовательно, уравнение (3.41) – уравнение прямой линии и оно называется общим уравнением прямой.

Рассмотрим некоторые частные случат общего уравнения прямой.

1. если А = 0, то уравнение приводится к виду у = - (С/В). Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2. если В = 0, то прямая, параллельна оси Оу;

3. если С = 0, то прямая проходит через начало координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном

направлении

Пусть прямая проходит через точку М(х₀,у₀) и её направление характеризуется угловым коэффициентом k. Уравнение этой прямой можно записать в виде у = k x + b, где b – пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку М(х₀,у₀), то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: y₀ = k x₀ + b. Откуда b = y₀ – k x₀. Подставляя значение b в уравнение у = k x + b, получим искомое уравнение прямой

у – y₀ = k ( x – x₀ ). (3.42)

Уравнение (3.42) с различными значениями k называют также уравнениями пучка прямых с центром в точке М(х₀,у₀).

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая проходит через М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂). Уравнение прямой, проходящей через точку М₁ , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой (3.23): у – y₁ = k (x – x₁) , где - k пока неизвестный коэффициент. Но данная прямая у – y₁ = k (x – x₁) проходит также через точку М₂(х₂,у₂), поэтому у₂ – y₁ = k (x₂ – x₁) . Отсюда находим k = (у₂ – y₁)/( x₂ – x₁). Подставляя найденное значение k в уравнение у – y₁ = k (x – x₁) , получаем уравнение прямой, проходящей через две точки М₁ и М₂ :

. (3.43)

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке М₁(а,0), а ось Оу–в точке М₂( 0,b) (см. рис. 3.16). В этом случае уравнение (3.43) примет вид

Рис. 3.16.

, т.е. . (3.44)

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа а и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку

перпендикулярно данному вектору

Найдём уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₀(х₀,у₀) перпендикулярно данному вектору (А,В).

Возьмём на прямой произвольную точку М(х,у) и рассмотрим вектор М₀М = (х – х₀, у – у₀) (см. рис. 3.17).

Рис. 3.17.

Поскольку векторы и М₀М перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: ∙ М₀М = 0 , то есть

А (х – х₀) + В ( у – у₀) = 0. (3.45)

Уравнение (3.45) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Вектор (А,В), перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.