8.1.3.4 Распределение касательного напряжения по радиусу при течении ньютоновской жидкости в круглой трубе

Найдем величину касательного напряжения на внутренней поверхности стенки трубы в условиях установившегося ламинарного течения с параболическим профилем скорости. Для этого рассмотрим соответствующий участок трубы длинной ΔL, представленный на рис. 8.4.

Рис. 8.4 Распределение скорости ω_z(r) и касательного напряжения τ(r) по радиусу r круглой трубы

Если на участке трубы длиной ΔL (с установившимся ламинарным потоком ньютоновской жидкости) действует перепад давления ΔР_у =  P(z₁) – P(z₂), то сила ΔР_у πR², действующая на площадь S = πR² поперечного сечения трубы, должна быть равна и направлена встречно силе τ 2πR ΔL, создаваемой касательным напряжением τ на площади 2πR ΔL внутренней поверхности этого участка длинной ΔL, т.е.

,

или

. (8.16)

Распределение касательного напряжения τ по радиусу круглой трубы при течении ньютоновской жидкости можно найти после подстановки профиля скорости (8.10) в закон Ньютона (8.3):

. (8.17)

Знак минус в последнем соотношении появился потому, что = , так как ΔР_у = P(z₁) – P(z₂) = –[P(z₂) – P(z₁)], ΔL = z₂ – z₁. Видно, что на оси трубы при r = 0 касательное напряжение принимает минимальное значение

τ_min = 0,

а максимальное по абсолютной величине значение касательного напряжения

(8.16а)

достигается при r = R, т.е. на внутренней поверхности стенки трубы.

Обратите внимание, что при подстановке r = R в (8.17) получаем максимальное значение касательного напряжения (8.16а), совпадающее с ранее полученной (из физических соображений) величиной (8.16).

8.1.4 Изотермическое ламинарное безнапорное сдвиговое течение ньютоновской жидкости в зазоре между двумя коаксиально расположенными цилиндрами при вращении внешнего цилиндра с постоянной угловой скоростью

8.1.4.1 Вычисление профиля скорости течения ньютоновской жидкости в зазоре между цилиндрами

Прямая краевая задача, позволяющая вычислить профиль скорости установившегося ламинарного сдвигового течения ньютоновской жидкости в зазоре между двумя коаксиальными цилиндрами при вращении внешнего цилиндра с постоянной угловой скоростью , может быть записана [2, 35] в виде уравнения движения

, (8.18)

с граничными (краевыми) условиями:

–   при r = R₀

ω_φ (R₀) = 0; (8.19)

–   при r = R

ω_φ (R) =  R, (8.20)

где ω_φ = ω_φ(r) – проекция вектора скорости на аксиальную координату φ, зависящая от радиальной координаты r цилиндрической системы координат; R₀ – наружный радиус внутреннего неподвижного цилиндра (ω_φ(R₀) = 0); R – внутренний радиус внешнего цилиндра, вращающегося с постоянной скоростью (8.20).

Проинтегрировав дифференциальное уравнение (8.18), получим

или

.

После интегрирования последнего выражения получаем

или

.

Для определения постоянных интегрирования С₁ и С₂ воспользуемся граничными условиями (8.19) и (8.20) и получим систему двух уравнений с двумя неизвестными

откуда следует, что

а профиль скорости можно вычислить по формуле

. (8.21)