8.1.3.2 Вычисление профиля скорости установившегося течения ньютоновской жидкости в круглой трубе

Прямая краевая задача, позволяющая вычислить профиль скорости установившегося течения жидкости в удаленном от входа в трубу сечении, может быть записана [31, 32] в виде уравнения движения

, 0 < r < R, (8.6)

с краевыми (граничными) условиями:

– при r = 0

; (8.7)

– при r = R

. (8.8)

Преобразуем уравнение (8.6) к виду

.

В результате интегрирования

получаем

или

. (8.9)

Постоянную интегрирования С₁ найдем из краевого условия (8.7).

Принимая во внимание, что при r = 0, согласно (8.7), производная от скорости течения должна быть равна нулю:

,

получаем, что это возможно только при С₁ = 0.

Проинтегрируем (8.9) при С₁ = 0 в пределах от r до R:

;

;

.

В силу граничного условия (8.8) ω_z(R) = 0. Вынося R² за скобку в правой части последнего соотношения, получим искомый профиль скорости

. (8.10)

Знак минус в формуле (8.10) указывает на то, что течение жидкости происходит в направлении уменьшения давления (вектор скорости направлен в сторону, противоположную направлению вектора градиента давления).

8.1.3.3 Вычисление средней скорости и расхода ньютоновской жидкости при течении в круглой трубе

Средняя по сечению круглой трубы скорость течения жидкости может быть вычислена по формуле

. (8.11)

Подставив (8.10) в (8.11), получим

, (8.12)

где ΔР_у – величина перепада давления на участке длиной ΔL, в пределах которого жидкость течет с установившимся параболическим профилем (8.10) скорости течения.

С учетом (8.12) профиль скорости (8.10) можно записать в виде

. (8.10а)

Из физических соображений очевидно, что средняя скорость течения может быть вычислена как отношение расхода g [м³/с] к площади сечения трубы S = πR² [м²] по формуле

. (8.13)

Приравняв (8.12) и (8.13), получаем известную формулу Пуазейля

, (8.14)

позволяющую вычислить расход ньютоновской жидкости с динамической вязкостью μ по известному перепаду давления ΔР_у на участке длиной ΔL при условии, что на всей длине этого участка жидкость течет с установившимся параболическим профилем скорости (8.10), который можно представить также в виде

(8.10а)

или

. (8.10b)

Видно, что максимальная скорость течения ньютоновской жидкости достигается на оси круглой трубы при r = 0

, (8.15)

а средняя скорость течения может быть вычислена по формуле

. (8.13а)

Отметим, что профили скорости течения в виде (8.10), (8.10а) и (8.10b) в учебной и специальной литературе принято называть пуазейлевским профилем скорости ламинарного течения ньютоновских жидкостей. Напомним, что ламинарный режим течения ньютоновских жидкостей существует при условии

Re ≤ Re_кр ,

где Re_кр – критическое значение числа Рейнольдса, обычно принимаемое равным Re_кр = (2100…2300). В некоторых случаях, принимая специальные меры для устранения причин нарушения устойчивости ламинарного режима течения (использование гладких (полированных) труб, устранение вибраций стенок и пульсаций давления), удается сохранять ламинарное течение вплоть до значений

Re_кр ≈ 10 000.

Если же на ламинарный поток жидкости действуют сильные внешние дестабилизирующие воздействия (значительная вибрация трубы, пульсация давления на входе в трубу), то нарушения ламинарного режима течения могут происходить уже при значениях критического числа Рейнольдса в диапазоне

Re_кр ≈ (1000…2100).