8.1.3 Изотермическое ламинарное движение ньютоновской жидкости в круглой трубе под действием постоянного перепада давления

Рассмотрим изотермическое, ламинарное, осесимметричное, установившееся во времени течение несжимаемой ньютоновской жидкости в прямой горизонтальной трубе круглого сечения с внутренним радиусом R и длиной L. Начало координат поместим на оси трубы на ее входе. Ось r направим по радиусу трубы. Ось трубы z будем считать направленной по направлению течения, так что давление P жидкости уменьшается в направлении возрастания z. В этом случае градиент давления совпадает с производной и является величиной отрицательной .

8.1.3.1 Особенности течения ньютоновской жидкости в круглой трубе

Основные особенности изотермического течения ньютоновской жидкости в круглой трубе проиллюстрированы на рис. 8.3.

Рис. 8.3 Изотермическое течение ньютоновской жидкости в круглой трубе:

а – изменение давления Р по длине z трубы; б – изменение профиля скорости ω_z (r) по длине z трубы

Из рис. 8.3, б видно, что на входном участке трубы (длиной l_вх) происходит перестройка профиля скорости от первоначального прямоугольного

до параболического

,

где средняя скорость течения жидкости, вычисляемая как отношение измеренного расхода g [м³/с], этой жидкости к площади S = πR² [м²], поперечного сечения трубы.

Длина l_вх входного участка, необходимого для завершения перестройки профиля скорости, определяется соотношением [2, 31– 34]:

,

где d = 2R – внутренний диаметр трубы; число Рейнольдса; ρ, μ – плотность и динамическая вязкость жидкости; k – коэффициент, который по данным [2, 31 – 34] может изменяться в пределах k = 0,0288…0,065.

На перестройку профиля скорости в пределах входного изотермического участка длиной l_вх затрачивается определенное количество энергии. Эта дополнительно затраченная энергия является причиной дополнительной потери давления в пределах входного участка по сравнению с областью установившегося течения с параболическим профилем скорости. Если в пределах области с установившимся профилем скорости график зависимости P = P(z) представляет собой прямую линию с тангенсом угла наклона

,

где перепад давления на участке трубы длиной с установившимся режимом течения, то аналогичная зависимость P = P(z) в пределах входного участка 0 < z< z₁ = l_вх является нелинейной.

Если график прямолинейного участка продолжить влево до пересечения с величиной P_вх давления на входе в трубу, то на рис. 8.3, а получим точку 1. Если бы не было перестройки профиля скорости течения на входе в трубу, то для получения того же перепада давления P_вх – P₂ на участке l_вх + ΔL трубы длина этого участка должна была бы быть равна

L_вх + l_вх + ΔL,

где L_вх – фиктивный входной участок трубы, который необходимо прибавить к действительной длине l_вх + ΔL участка этой трубы, чтобы можно было считать полную потерю давления P_вх – P₂ на этом участке l_вх + ΔL равной перепаду давления на участке L_вх + l_вх + ΔL при установившемся режиме течения в более длинной трубе с установившимся параболическим профилем скорости на входе в трубу.

Следует отметить, что вблизи выходного сечения трубы происходит обратная перестройка профиля скорости течения жидкости (от параболического к приблизительно прямоугольному в свободно вытекающей струе). На эту перестройку профиля скорости также затрачивается дополнительная энергия. В пределах выходного участка длиной l_вых график зависимости P = P(z) имеет нелинейный вид.

Если график прямолинейного участка зависимости P(z), характерный для установившегося течения с параболическим профилем скорости течения, продолжить пунктирной линией до пересечения с линией P = 0, то на рис. 8.3, а получим точку 2. Если не было бы перестройки профиля скорости течения на выходном участке трубы, то для получения того же перепада давления на участке длиной ΔL + l_вых трубы эта длина должна была бы быть

ΔL + l_вых + L_вых ,

где L_вых – фиктивный выходной участок трубы, который необходимо прибавить к действительной длине ΔL + l_вых этого участка трубы, чтобы можно было считать полную потерю давления на этом участке трубы длиной l_вых + ΔL, равной перепаду давления на участке длиной ΔL + l_вых + L_вых более длинной трубы с установившимся режимом течения с параболическим профилем скорости течения.