2.5 Теорема компенсации. Линейные соотношения в электрических цепях

2.5.1 Теорема компенсации

В любой электрической цепи сопротивление можно заменить Э.Д.С., численно равной падению напряжения на этом сопротивлении и направленной встречно току в этом сопротивлении. При такой замене токораспределение в схеме не изменяется.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим схему, приведённую на рис. 2.7а, в которой выделим только одну ветвь с сопротивлением R, а всю остальную часть схемы обозначим в виде активного двухполюсника (так как схема, в общем случае, может содержать несколько источников электрической энергии – активных элементов).

Если теперь в рассматриваемую ветвь включить две одинаковые и противоположно направленные Э.Д.С. Е (рис. 2.7б), численно равные падению напряжения на сопротивленииR , то ток в цепи не изменится. Это следует из того, что разность потенциалов между точками а и с равна нулю, а значит, напряжениеостаётся прежним:

.

Так как ,то точки а и с можно объединить в одну, то есть закоротить участок ас. При этом получим схему, изображенную на рис. 2.7в.

Таким образом, схемы на рис. 2.7а,в эквивалентны, если , причем эквивалентная Э.Д.С. Е прямо пропорциональна току I в ветви, то есть зависит от тока.

ПРИМЕЧАНИЕ:

Любая ветвь с известным током I может быть заменена источником тока .

2.5.2 Линейные сложения в электрических цепях

Если в линейной электрической цепи изменяется какая-либо величина (Э.Д.С. или сопротивление) в одной ветви, то две любые величины (токи и напряжения) двух любых ветвей связаны между собой линейными зависимостями, вида:

. (2.4)

где х – ток и напряжение одной ветви;

y – ток и напряжение другой ветви.

Для пояснения этого свойства рассмотрим пример.

ПРИМЕР:

В схеме на рис. 2.8 выделены три ветви.

При разомкнутом ключе К:.

При замкнутом ключе К: .

При замкнутом ключе сопротивление R изменили так, что амперметр А₂ показал ток 4,5 А. Каково показание амперметра А₁ в этом режиме?

РЕШЕНИЕ:

Выразим ток через токс помощью уравнения прямой:

.

Для определения коэффициентов а и b составим два уравнения, исходя из условия задачи:

Решая эту систему уравнений, находим его корни:

при токравен:

ОТВЕТ: .

2.6 Метод узловых потенциалов

В тех случаях, когда в анализируемой схеме число узлов без единицы меньше числа независимых контуров, метод узловых потенциалов является более экономичным по сравнению с методом контурных токов.

Суть этого метода состоит в определении напряжений между узлами сложной электрической цепи путём решения системы уравнений, составленных на основе первого закона Кирхгофа. После нахождения неизвестных потенциалов, используя закон Ома, определяют токи во всех ветвях, и выясняют их истинное направление.

Потенциал любой одной точки схемы можно принять равным нулю, так как ток в ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, а от разности потенциалов на концах ветви.

При этом число неизвестных уменьшается с n до n -1.

Рассмотрим применение данного метода для расчета цепи, приведённой на рис. 2.9, которая имеет большое число ветвей (7) и сравнительно небольшое число узлов (4).

Если узел 0 мысленно заземлить, то есть принять его потенциал равным 0, то неизвестными будут потенциалы только трёх узлов: .

Первоначально в исходной схеме произвольно задаём направления токов, которые обозначаются с двумя индексами: первый индекс определяет номер узла, от которого течет ток, а второй - номер узла, к которому ток подтекает.

Для расчета цепи составляют систему уравнений:

где - сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1;

- проводимость ветви, находящейся между узлами

1 и 2, принято всегда брать со знаком «-».

;

- узловой ток первого узла, равный

алгебраической сумме токов, сходящихся в узле.

В образовании узлового тока n-й ветви участвуют лишь те ветви, подходящие к этому узлу, которые содержат источники Э.Д.С. и источники тока.

Если Э.Д.С. и ток источника тока направлены к узлу, то ставится знак «+», в противном случае «-».

После решения системы уравнений определяют токи в ветвях по закону Ома:

; ;;

; .

В заключении делают проверку на баланс мощностей:

.

1. Если в ветви находится идеальный источник Э.Д.С. без других сопротивлений, то проводимость такой ветви равна бесконечности (рис. 2.10а). В этом случае применяют следующий приём.

Втакой ветви встречно данному источнику Э.Д.С. включают такой же источник, Э.Д.С. которого равна первому. Чтобы токи в ветвях не изменялись, в оставшиеся ветви добавляют такие же источники Э.Д.С., направленные от узла а. При этом потенциалы точек 1, 2 и 3 будут равны, то есть могут быть объединены в одну точку А (таким образом, исходная схема в принципе не нарушена). В результате получим схему, изображенную на рис. 2.11.

2. Если в ветви находится идеальный источник тока, то его проводимость равна нулю. В этом случае применяют правило переноса источника тока.

В результате такого преобразования в каждом из узлов, значения токов не изменяются. Например, ток в узле b остался неизменным, так как в этот узел добавили и вычли ток J. Из узла а ток J также вытекает, только теперь с другой стороны.