Раздел 3. Эконометрические модели прогнозирования

Эконометрия – это наука, связанная с проблемами построения экономико-статистических моделей, оценкой параметров моделей и их интерпретацией. Эконометрические модели позволяют выявить силу воздействия факторов, входящих в модель (независимые переменные), и предсказать поведение зависимого фактора, т.е. ответить на вопрос, что произойдет с тем или иным зависимым показателем, если мы достигнем определенного уровня независимых переменных.

В предыдущем разделе мы рассмотрели задачу прогнозирования тенденций изменения экономического явления или любого другого явления только от одного фактора – времени.

Возможны другие модели прогноза – причинно-следственные (каузальные), когда модель можно представить, связывая одну или несколько переменных, которые являются причиной изменения другой (зависимой) переменной. Поэтому выделяют однофакторные и многофакторные модели прогнозирования. Прогноз получают подстановкой независимой или независимых переменных и в данном случае прогноз может быть содержательно интерпретирован.

Оценивание параметров модели с помощью МНК требует выполнения определенных условий:

- – математическое ожидание случайных ошибок имеет среднюю равную нулю;

- – для любого заданного распределение имеет постоянную дисперсию (это условие называется гомоскедастичностью, если это условие не выполняется – называется гетероскедастичностью и тогда необходимо применять взвешенный МНК), но для экономических данных , , и мы предполагаем, что значение извлекается из генеральной совокупности ;

- – математическое ожидание ковариации ошибок (автокорреляций) равно нулю при .

Если перечисленные условия выполняются, то оценки параметров модели обладают следующими свойствами:

- несмешанностью – т.е. математическое ожидание оценки параметров модели равны их истинным значениям и ;

- сосоятельностью – дисперсия оценок параметров при равна нулю;

- эффективностью – параметры модели имеют наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками.

Так как большинство эконометрических моделей строятся по временным рядам, то почти всегда содержат те или иные нарушения, связанные со второй или третьей предпосылкой. Если модель многофакторная, то может возникнуть и проблема мультиколлинеарности. МНК очень чувствителен также и к экстремальным наблюдениям, которые могут вызвать смещение в оценке параметров модели. Подход к решению данных проблем будет рассмотрен по ходу их возникновения.

3.1. Однофакторные модели прогнозирования

Рассмотрим однофакторную модель прогнозирования, где в качестве независимой переменной используется показатель – личный доход на душу населения, а зависимая переменная – расходы на личное потребление на душу населения. Мы предполагаем, что по мере увеличения в среднем дохода должно увеличиваться в среднем и потребление, т.е. причиной изменения потребления является личный доход. Данные о личных доходах и расходах представлены в табл. 3.1 и графически (рис. 3.1).

Таблица 3.1

Год	Расходы на личное потребление	Личный доход i	Оценка расходов по модели	Ошибка модели
1	3371,69	3779,008	3288,13	83,56	6982,274	1592,17
2	3657,932	4042,401	3534,47	123,462	15242,87	10737,52
3	4002,36	4521,472	3982,52	19,84	393,6256	150,4793
4	4337,073	4892,473	4329,50	7,573	57,35033	0,080656
5	4744,907	5328,241	4737,05	7,857	61,73245	3502,391
6	5243,578	5798,165	5176,54	67,038	4494,093	1932,306
7	5774,296	6318,347	5663,30	110,996	12320,11	4534,676
8	6384,546	7043,127	6340,89	43,656	1905,846	2054,446
9	7035,54	7787,600	7037,21	-1,67	2,7889	9258,866
10	7677,207	8576,636	7775,10	-97,893	9583,039	15203,88
11	8374,783	9454,348	8595,98	-221,197	48928,11	138,039
12	8859,664	9985,364	9092,61	-232,946	54263,84	25660,52
13	9635,083	10643,19	9707,84	-72,757	5293,581	36436,32
14	10407,36	11673,01	10671,00	-263,64	69506,05	23503,96
15	11184,07	12339,62	11294,40	-110,33	12172,71	1016,972
16	11842,96	13009,97	11921,40	-78,44	6152,834	50445,16
17	12565,66	13542,61	12419,50	146,16	21362,75	77,7924
18	13447,98	14476,54	13293,00	154,98	24018,8	245,8624
19	14246,26	15313,38	14075,60	170,66	29124,84	1060,154
20	15044,80	16202,00	14906,70	138,1	19071,61
	167837,7	184727,5			340938,8	187551,6

Рис. 3.1

Предположим, представленный график зависимости расходов на личное потребление от личных доходов – располагаемый доход), можно описать линейной функцией .

Используя МНК, оценим неизвестные параметры модели и

.

Определим стандартную ошибку уравнения .

где – количество независимых переменных.

Проверим надежность параметров модели по -критерию Стьюдента. Вначале определяем расчетное значение критерия Стьюдента

,

где – стандартные ошибки параметров модели; – диагональные элементы обратной матрицы.

Если параметры модели определяются из системы нормальных уравнений, то рассмотренные выше оценки ошибок можно определить следующим образом:

Для уровня значимости и степени свободы , находим из таблицы критическое значение критерия Стьюдента равное 1,734 для односторонней критической области. Так как расчетные значения критерия больше критического, то параметры модели значимы.

Определим коэффициент детерминации : , где – квадрат полной вариации; – квадрат вариации за счет регрессии

Чем ближе теоретическое значение зависимой переменной к наблюдаемой, тем меньше выражение и, следовательно, ближе к . Показателем точности модели может служить величина SSE, но она зависит от единиц измерения наблюдаемой величины . Если выражение сделать безразмерным, разделив его на , то величина показывает долю изменения за счет изменения .

Для определения статистической значимости коэффициента детерминации используем -критерий Фишера

Полученное расчетное значение сравниваем с критическим уровнем. Критическое значение определяем по таблице Фишера, которое зависит от чисел степеней свободы и и выбранного уровня значимости. Если расчетное значение больше критического, то коэффициент детерминации значим. Если расчетное значение равно нулю, то это означает, что не зависит от и параметр модели равен нулю, и лучшая модель по МНК: . Если в модели несколько независимых переменных, то одновременно проверяется равенство нулю всех параметров модели. По таблице распределения Фишера с 1-й и 18-й степенями свободы определим критическое значение при уровне значимости равное 0,05, которое равно 4,41. Расчетное значение намного превышает критическое. Такой же вывод получен и с использованием -статистики. Для однофакторных моделей эти две проверки равносильны.

Необходимо отметить недостаток коэффициента детерминации, его значение не убывает с ростом числа независимых переменных, даже если их включение в модель незначимо, поэтому рассчитывают скорректированный коэффициент детерминации, который лишен этого недостатка

.

Пока все рассмотренные статистики подтверждают значимость выбранной модели. Из макроэкономической теории мы знаем, что сумма предельной склонности к потреблению (отношение изменения в потреблении к изменению в доходе) и сбережению (отношение изменения в сбережениях к изменению в доходе) равна единице. Полученная модель свидетельствует о том, что 93,5 долларов предельного потребления (дополнительного) связаны со 100 долларовым увеличением дохода и предельная склонность к сбережению составляет только 6,5 долларов. Этот вывод не противоречит теоретическим предположениям. Однако настораживает свободный коэффициент модели. Он означает, что если текущий доход равен нулю, то потребление отрицательное.

Как отмечалось выше, основная трудность построения модели по экономическим временным рядам заключается в том, что наблюдаемые значения не являются независимыми, они автокоррелированны, т.е. если наблюдаемое значение превышает среднее значение этого ряда, то весьма вероятно, что следующее наблюдение будет также превышать среднее значение. Необходимо исследовать полученную модель на соответствие наблюдаемых и теоретических данных и посмотреть, как ведут себя ошибки модели (остатки). Ошибки модели представляют собой разность между наблюдаемыми и теоретическими значениями. Если модель подобрана правильно, то остатки должны быть независимы друг от друга и не должно наблюдаться никаких закономерностей в чередовании знаков. Если мы обратимся к табл. 3.1, где приведены ошибки модели, то можно увидеть обратную картину – чередование знаков имеет определенную закономерность. Это также подтверждается и графически (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Хотя модель довольно хорошо описывает наблюдаемые данные, изображенные на графике в виде точек (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Визуально и графически мы убедились, что остатки имеет определенную тенденцию, значит, они не являются независимыми. Для определения наличия автокорреляции используют критерий Дарбина-Уотсона

.

Можно показать, что статистика Дарбина-Уотсона заключена в пределах от 0 до 4, а при отсутствии автокорреляции . Какие значения, кроме , указывают на отсутствие автокорреляции остатков? Для этого разработаны специальные таблицы критических точек статистики Дарбина-Уотсона с различным уровнем значимости. В ней при заданном уровне значимости на пересечении столбца, соответствующему количеству независимых переменных , и строки, соответствующей числу наблюдаемых данных , находятся два значения – нижняя граница и – верхняя граница критических точек. Использование этих границ объясняется следующей схемой (рис. 3.4). При попадании расчетного значения критерия в одну из указанных границ, делают заключение об отсутствии или наличии автокорреляции. При попадании расчетного критерия в границы неопределенности, требуется проведение дополнительных исследований, например взятие первых разностей в исходных данных.

0 – dl – положительная автокорреляция;

dl – du – интервал неопределенности;

du – 4-du – отсутствие автокорреляции;

4-du – 4-dl – отрицательная автокорреляция.

Рис. 3.4

Для нашего рассматриваемого примера расчетное значение критерия таково: . Критические значения находим из таблицы Дарбина-Уотсона с уровнем значимости , и . Нижнее значение и верхнее .Так как наше расчетное значение равное 0,55 попадает в интервал от 0 до , следовательно, делаем заключение о наличии положительной автокорреляции. Таким образом, полученная модель не может быть использована ни для анализа, ни для прогноза.

Решение данной проблемы может заключаться в следующих подходах:

Первый подход. Причиной автокорреляции остатков может быть ошибка в спецификации модели, т.е. в модель не включена одна из независимых переменных и тем самым она оказывается включенной в состав остатков и характеризуется точно такой же автокорреляцией, что и остатки в исходной модели. Решение проблемы – исправление спецификации модели.

Второй подход основан на преобразовании наблюдаемых данных.

Рассмотрим применение этих двух подходов на нашем примере.

В нашей исходной линейной модели ê_t, мы предполагали, что в момент времени уровень потребления , уровень располагаемого дохода и случайная ошибка ê_t, а остальные прочие факторы, которые влияют на уровень потребления (сбережения – , цены – , вкусы потребителя и др.), остаются постоянными. Эта гипотеза справедлива для мгновенного периода, но не для нашего рассматриваемого двадцатилетнего периода. Попробуем улучшить спецификацию модели следующим образом: учтем тот факт, что и рассмотрим линейную зависимость уровня располагаемого дохода от уровня сбережения û_t.

Параметры модели и определяем по МНК. Рассчитываем теоретические значения уровня располагаемого дохода .

Подставим модель уровня располагаемого дохода в нашу исходную модель уровня потребления

û_t) ê_t û_t ê_t , и оценим вновь и по МНК.

Результат таков: ; и .

Данный способ не дал положительных результатов. В модели обнаружена положительная автокорреляция остатков.

Используя второй подход, преобразуем данные к следующему виду

.

Здесь мы попытаемся устранить влияние на исследуемые показатели других случайных факторов. Модель примет вид

.

Далее были определены: ; ; ; ; ; ; ; при и графически представлены остатки модели (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Как видно из приведенных данных, параметры модели значимы, отсутствует автокорреляция и остатки независимы. Следовательно, полученную модель можно использовать для анализа и прогноза. Из модели следует, что при росте дохода на 1% потребление увеличивается на 0,62%. Прогноз получают, подставляя в модель значения независимой переменной. Для определения интервала прогноза определяют стандартную ошибку прогноза

,

где – вектор столбец независимых переменных, например , x – индивидуальное значение независимой переменной.

Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной таков: , .

Точечный прогноз .

Интервальный прогноз .