2.2. Метод среднего темпа роста
Дан ряд
динамики
,
и пусть для этого ряда выполняются
следующие условия
,
где
– знаменатель геометрической прогрессии.
Тогда ряд динамики можно переписать следующим образом:
.
Любой уровень ряда динамики можно выразить следующим образом:
.
Из
последнего уравнения выразим
:
.
Так как
темпы роста из года в год колеблятся,
то для прогнозирования исчисляют его
среднюю величину по формуле:
.
Средний
темп роста показывает, во сколько раз
в среднем за единицу времени изменится
уровень ряда динамики. Если в основу
прогнозного расчета положить средний
темп роста, то прогнозируемое значение
ряда можно получить по формуле
,
где
– уровень ряда динамики, принятый за
базу для экстраполяции;
– период упреждения.
Применение среднего темпа роста для экстраполяции предполагает только один тип развития по экспоненте.
Пример 2.2. В табл. 2.2 приведена динамика добычи нефти по месторождению по годам.
Таблица 2.2
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
10 |
12 |
15 |
17 |
20 |
21 |
24 |
27 |
30 |
Определим средний темп роста добычи нефти за рассматриваемый период:
.
Прогноз
осуществлен по формуле
(рис. 2.2).
Рис. 2.2
2.3. Метод линейного тренда (метод наименьших квадратов)
Закономерности
развития явления во времени можно
описать тем или иным видом функции
и осуществить экстраполяции путем
подстановки в функцию значения независимой
переменной
.
Экстраполяция дает возможность получить
точечное значение прогноза, которое
является средней оценкой для прогнозируемого
интервала. Следует иметь в виду, что
осуществлять прогноз можно только в
том случае, если развитие явления
достаточно хорошо описывается данным
видом функции и условия, определяющие
тенденцию развития в прошлом, не претерпят
существенных изменений в будущем.
Существуют несколько десятков математических функций, мы же рассмотрим только наиболее часто используемые для прогнозирования:
-
линейная –
;
-
параболическая –
;
-
экспоненциальная –
;
-
полулогарифмическая –
;
-
гиперболическая –
;
-
степенная –
.
Полиномы
невысоких степеней имеют конкретную
интерпретацию рядов динамики. Например,
для линейной и параболической функций
коэффициенты модели можно интерпретировать
следующим образом:
– характеризует средние условия
ряда динамики;
– скорость роста ряда динамики;
– ускорение ряда динамики.
Существует правило выбора степени полинома, основанное на определении величин конечных разностей уровней ряда динамики. Согласно этому правилу полином первой степени (линейная функция) применяется в том случае, если первые разности (абсолютные приросты) постоянны, полином второй степени – когда постоянны вторые разности и т.д.
Для
выбора экспоненциальной функции
необходима стабильность цепных темпов
роста
.
Если возрастание одной величины приводит к убыванию другой, то используют гиперболическую или степенную функции, а если с возрастанием одной величины наблюдается замедленное возрастание другой, то используют полулогарифмическую функцию.
Для
нахождения неизвестных коэффициентов
методом наименьших квадратов (МНК) можно
составить систему нормальных уравнений
для рассмотренных функций и решить их,
определив неизвестные коэффициенты
,
и
.
Рассмотрим пример составления системы
нормальных уравнений для гиперболической
функции. МНК минимизирует сумму квадратов
отклонений (
)
наблюдаемых значений от теоретических,
это можно записать так:
,
где
–
наблюдаемые значения временного ряда;
–
теоретические значения временного
ряда;
– временные
отсчеты, например, годы
,
–количество
наблюдаемых значений временного ряда;
и
– неизвестные
коэффициенты.
Функция минимизируется, если взять частные производные по неизвестным коэффициентам
.
Преобразуя эту систему, получим
.
Из
этой системы находим
и
,
но предпочтительнее определять
неизвестные коэффициенты, используя
матричные обозначения, так как по этому
способу удобнее рассчитывать различные
статистические характеристики модели.
В
матричном обозначении неизвестные
коэффициенты находятся следующим
образом:
,
где
–
вектор наблюдаемых значений временного
ряда;
–
матрица, характеризующая временные
данные (независимые переменные);
–
транспонированная матрица;
–
обратная матрица;
–
вектор неизвестных коэффициентов.
Запишем представление в матричном виде для параболической функции
.
Интервал
прогноза определяется следующим образом:
,
где
– точечное значение прогнозируемого
показателя для
единиц времени;
– значение
критерия Стьюдента с заданным уровнем
значимости
и степенью свободы
(
– количество
независимых переменных,
);
–
стандартная ошибка прогноза.