2.5. Адаптивные методы прогнозирования

Метод авторегрессии и скользящего среднего Бокса-Дженкинса

Важным классом вероятностных моделей являются линейные стационарные модели. Они основаны на предположении, что процесс остается в равновесии относительно постоянного среднего уровня. Но многие временные ряды, описывающие экономические процессы, являются нестационарными и не колеблятся около фиксированного среднего.

Мы рассмотрим применение как стационарных моделей, так и не стационарных моделей, сводящихся к стационарным, взятием -й разности наблюдаемого процесса или явления.

Рассмотрим некоторые понятия, которые будут использоваться в данном методе.

Оператор сдвига назад , определяемый как , откуда по анологии получим , где – сдвиг на шагов.

Разностный оператор со сдвигом назад , который можно выразить, используя оператор сдвига назад B следующим образом

.

Модель авторегрессии (AR) – в этой модели текущее значение наблюдаемого ряда выражается как линейная совокупность предыдуших значений ряда и независимой от них случайной величиной . В разные моменты времени случайные величины также независимы между собой и одинаково распределены, например, по нормальному закону.

Пусть имеем значение временного ряда в моменты времени , , ,… в виде , , , … и пусть значения , , ,… – отклонения от среднего значения данного временного ряда, т.е., например, , тогда процесс авторегрессии порядка для стационарной модели можно записать следующим образом , где – коэффициенты модели.

Определим оператор авторегрессии порядка p следующим образом

,

тогда модель авторегрессии порядка p можно записать компактно .

Для нестационарного ряда динамики авторегрессионная модель будет иметь вид .

Следовательно, нестационарный процесс может быть описан моделью авторегрессии, которая требует, чтобы -я разность процесса была стационарной. Практически равно 1 или 2.

Модель скользящего среднего (MA). Пусть значение линейно зависит от конечного числа q предыдущих значений e_t, такой процесс называют процессом скользящего среднего порядка и для стационарных временных рядов имеет вид , где , ,…, – коэффициенты модели.

Запишем оператор скользящего среднего порядка следующим образом:

.

В компактном виде модель такова: .

Для нестационарного ряда динамики модель скользящего среднего будет иметь вид .

Смешанные модели авторегрессии и скользящего среднего (ARMA).

Для более гибкой подгонки моделей к наблюдаемым временным рядам возможно объединение моделей авторегрессии и скользящего среднего.

Стационарная модель: .

Нестационарная модель: .

Представим данные модели в виде разностных уравнений, что позволит выразить текущее значение y_t через их предшествующие значения и текущие и предшествующие значения , .

Стационарная модель:

;

;

.

Нестационарная модель:

.

Введем обозначение , где – стационарный временной ряд.

Пусть и , тогда нестационарная модель авторегрессии и скользящего среднего, обозначается ARMA (1, 2, 2), примет вид

.

Подставим полученные значения вместо выражения

.

После преобразования получим

.

В момент времени значение .

Критерий стационарности – воспользуемся непараметрическим критерием, для проверки временного ряда на стационарность. Если в каком-либо ряду из измерений, записанных в порядке их получения, за некоторым выбранным числом следует меньшее по величине число, то имеет место инверсия . Нулевая гипотеза состоит в том, что наблюдения являются независимыми, т.е. тренд отсутствует. Используют двухсторонний критерий.

Пример 2.5. Вычислить статистику инверсий и проверить ряд на стационарность (табл. 2.7).

Таблица 2.7

	36,5	43,0	44,5	38,9	38,1	32,6	38,7	41,7	41,1	36,8	Итого
	1	7	7	4	2	0	1	2	1	0	25

Для расчета количества инверсий выбираем число, например, 36,5 и после этого числа, подсчитываем количество чисел в данном временном ряду, которые меньше 36,5. Есть только одно число равное 32,6. Значит, количество инверсий . При следующем подсчете инверсии значение временного ряда 36,5 не учитывается. Расчетное значение инверсий для данного ряда . Затем расчетные значения инверсий сравниваются с их критическими значениями с уровнем значимости и степенью свободы . Критические значения инверсий представленны в табл. 2.8.

Таблица 2.8

	0,975	0,025		0,975	0,025
10	11	33	40	305	474
12	18	47	50	495	729
14	27	63	60	731	1038
16	38	81	70	1014	1400
18	50	102	80	1344	1815
20	64	125	90	1721	2283
30	162	272	100	2145	2804

Определяем две критические области – левостороннюю и правостороннюю:

.

Так как расчетное значение инверсии равное 25 не попадает ни в одну из критических областей, то нулевая гипотеза не отвергается, т.е. ряд стационарный.

Как уже отмечалось выше, в большистве экономических рядов наблюдается нестационарность, так как условия, в которых эти ряды формируются, изменяются с течением времени. Для оценки числовых характеристик временного ряда используют:

- среднее значение временного ряда ( )

.

Оценка состоятельна только в том случае, если среднее значение автокорреляционной функции рассматриваемого ряда стремится к нулю при .

- оценка автоковариационной, автокорреляционной и частной автокорреляционной функций.

Автокорреляция – это зависимость между последовательными наблюдениями временного ряда. Автокорреляция может существенно меняться после удаления автокорреляции первого порядка, т.е. взятие первой разности ряда при .

Частная автокорреляция – в ней устраняется влияние между промежуточными наблюдениями. Например, частная автокорреляция при задержке отличается от обычной автокорреляции при задержке тем, что из нее удалена автокорреляция с меньшей задержкой . Очевидно, что при задержке частная автокорреляция будет равна обычной автокорреляции. Частная автокорреляция определяет более точно график переодических зависимостей.

Практически мы имеем конечный временной ряд , ,…, из наблюдений, по которому можно оценить только выборочные автоковариации, автокорреляции и частные автокорреляционные функции по формулам.

Оценка автокорреляции при задержке определяется по формулам:

,

где – выборочная оценка автоковариации при задержке , – выборочная оценка автоковариации при задержке .

Для практического использования автокорреляционных функций нужно не менее 50 наблюдений и их количество не должно превышать величины ( ).

Частные коэффициенты автокорреляции можно рассчитать по рекурсивному алгоритму

.

Оценки частных коэффициентов автокорреляции очень чувствительны к ошибкам округления, особенно если исследуемый ряд динамики близок к нестационарному процессу.

Доказано, что если порядок процесса авторегрессии равен , то выборочные частные автокорреляции порядка независимы и имеют дисперсию равную , а стандартная ошибка выборочной частной автокорреляционной функции равна .

Для процесса скользящего среднего порядка стандартная ошибка выборочной автокорреляционной функции равна

.

Доверительные интервалы с выбранным уровнем значимости таковы:

;

.

Пример 2.6. Рассчитать по 10-и значениям временного ряда выборочные оценки автоковариаций, автокорреляций и частных автокорреляций (табл. 2.9).

36,5; 43,0; 44,5; 38,9; 38,1; 32,6; 38,7; 41,7; 41,1; 36,8.

Таблица 2.9

		Задержка
-2,69	7,236	3,81	5,31	-0,29
3,81	14,516	5,31	-0,29	-1,09	-10,249	-14,284	0,78
5,31	28,196	-0,29	-1,09	-6,59	20,231	-1,105	-4,153
-0,29	0,084	-1,09	-6,59	-0,49	-1,54	-5,788	-34,993
-1,09	1,188	-6,59	-0,49	2,51	0,316	1,911	0,142
-6,59	43,428	-0,49	2,51	1,91	7,183	0,534	-2,736
-0,49	0,24	2,51	1,91	-2,39	3,229	-16,541	-12,587
2,51	6,3	1,91	-2,39		-1,23	-0,936	1,171
1,91	3,648	-2,39			4,794	-5,999
-2,39	5,712				-4,565
итого	110,549
					18,17	-42,207	-52,375

Среднее значение:

Автоковариации при задержках .

Автокорреляции при задержках .

Частные автокорреляции:

Идентификация параметров и .

Стационарные модели.

Для идентификации порядка модели используют графики, автокорреляционную функцию (АКФ) и частную автокорреляционную функцию (ЧАКФ). Большинство встречающихся на практике временных рядов можно с достаточной степенью точности аппроксимировать одной из пяти основных моделей, число параметров которых невелико – не больше двух:

- модель AR(1,0,0) – АКФ экспоненциально убывает, ЧАКФ имеет резко выделяющееся значение для первой задержки , а для остальных задержек выборочные ЧАКФ по абсолютной величине не превышают стандартную ошибку с выбранным уровнем значимости

;

- модель AR(2,0,0) – АКФ имеет форму синусоиды или экспоненциально убывает, ЧАКФ имеет резко выделяющееся значение для задержек и , а для остальных задержек выборочные ЧАКФ по абсолютной величине не превышают стандартную ошибку с выбранным уровнем значимости;

- модель MA(0,0,1) – АКФ имеет резко выделяющееся значение при задержке , а для остальных задержек выборочные АКФ по абсолютной величине не превышают свою стандартную ошибку с выбранным уровнем значимости

,

ЧАКФ экспоненциально убывает;

- модель MA(0,0,2) – АКФ имеет резко выделяющееся значение при задержках и , а для остальных задержек выборочные АКФ по абсолютной величине не превышают свою стандартную ошибку с выбранным уровнем значимости. ЧАКФ имеет форму синусоиды или экспоненциально убывает;

- модель ARMA(1,0,1) – АКФ и ЧАКФ экспоненциально убывает при задержке .