Стандартная ошибка прогноза зависит не только от числа наблюдений n, но и от периода упреждения и определяется по формуле

,

где – стандартная ошибка уравнения; – вектор-столбец времени, по которому производится экстраполяция.

,

где m – количество независимых переменных.

Пример 2.3. Имеется следующий временной ряд:

56 50 44 40 52 60

1 2 3 4 5 6.

Найти неизвестные коэффициенты для параболической функции второго порядка , определить точечный и интервальный прогнозы при и .

Представим исходные данные в матричной форме:

.

Найдем произведение матриц и обратную матрицу

.

Получим модель параболы второго порядка .

Подставив значение в модель, получим перспективный точечный прогноз .

Подставляя значения , получаем ретроспективный прогноз. На основании ретроспективного прогноза определим стандартную ошибку полученной модели. Расчеты представим в табл. 2.3.

Таблица 2.3

1	56	57,215	1,476
2	50	47,702	5,281
3	44	43,261	0,546
4	40	43,892	15,148
5	52	49,595	5,784
6	60	60,370	0,137
Итого			28,372

.

Далее определяем стандартную ошибку прогноза , , и интервал прогноза при и степенью свободы : .

Такие же расчеты проведены для . Результаты ретроспективного и перспективного прогноза представлены графически, где – наблюдаемые значения временного ряда; – прогнозируемые значения; – нижняя граница перспективного интервального прогноза; – верхняя граница перспективного интервального прогноза (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Для оценки доверительных интервалов наблюдаемых значений временного ряда с использованием -распределения Стьюдента используют формулу . Такая оценка доверительных интервалов представлена на графике (рис. 2.4).

Рис. 2.4

2.4. Модели сезонной декомпозиции

Идея сезонной декомпозиции состоит в том, что временной ряд представляют состоящим из четырех компонент:

- тренда ( , где обозначает момент времени);

- сезонной компоненты ( );

- циклической компоненты ( );

- случайной компоненты ( ).

Отличие между сезонной и циклической компонентой состоит в том, что циклическая компонента обычно имеет более длительный эффект, который к тому же меняется от цикла к циклу, а сезонная имеет периодическую повторяемость через определенное время. В зависимости от взаимосвязи выделенных компонент различают модели аддитивные и мультипликативные.

Аддитивная модель: .

Мультипликативная модель: , где – значение временного ряда в момент времени .

В каком случае проявляется аддитивная или мультипликативная сезонность? На графике это различие будет проявляться следующим образом: в аддитивном случае ряд будет иметь постоянные сезонные колебания, величина которых не зависит от общего уровня значений ряда; в мультипликативном случае величина сезонных колебаний будет меняться в зависимости от общего уровня значений ряда.

Так как циклическая компонента отличается от сезонной компоненты тем, что она обычно имеет большую временную протяженность и проявляется через неравные промежутки времени, то она также может быть либо аддитивной, либо мультипликативной как и в случае с сезонной компонентой.

Следовательно, аддитивная модель характеризуется тем, что сезонные и циклические колебания у нее остаются постоянными, а у мультипликативной модели сезонные и циклические колебания изменяются в зависимости от уровня ряда.

Прогнозные значения временного ряда определяются по формулам:

- аддитивная модель: ;

- мультипликативная модель: .

Для практического изучения данного способа необходимо:

- сначала вычислить скользящие средние для временного ряда, при этом ширина сглаживания берется равной периоду сезонности. Если период сезонности – четное число, то необходимо полученные скользящие средние центрировать, чтобы отнести расчетные значения к определенной дате.

- после нахождения скользящих средних исключается сезонная изменчивость, в случае аддитивной модели ряд скользящих средних вычитается из наблюдаемого ряда или в случае для мультипликативной модели значения наблюдаемого ряда делятся на значения скользящих средних. Таким образом, получают ряд динамики с тренд-циклической компонентой ( ).

- на последнем шаге выделяется случайная компонента путем вычитания из первоначального ряда тренд-циклической компоненты для аддитивной модели или делением этого ряда на тренд-циклическую компоненту для мультипликативной модели.

Рассмотрим построение мультипликативной модели.

Теоретическая модель подразумевает следующее:

.

Из этого следует, что расчетные значения будут

,

где – значения центрированных скользящих средних.

Имея значения центрированных скользящих средних и значения исходного временного ряда , можно определить следующим образом. Группируя значения (пример 2.4) по кварталам и годам, вычисляют среднее значение по кварталам как среднее арифметическое простое (знаменатель – количество лет) и затем для каждого квартала определяют окончательно сезонную составляющую по формуле , где – для данных по месяцам ( ), по кварталам .

Имея расчетные значения , можно определить временной ряд , в котором исключено влияние сезонной компоненты .

К полученному ряду подбираем тот или иной вид тренда, например, линейный .

Для получения перспективного и ретроспективного прогнозов используют формулу .

Чтобы выделить циклическую компоненту проведем следующие преобразования: .

Для исключения случайной компоненты проводят трехчленное сглаживание ряда по формуле .

Затем выделяют случайную компоненту .

Пример 2.4. Имеются данные по торговому обороту фирмы за восемь лет (табл. 2.4).

Таблица 2.4

Квартал	Год
	1	2	3	4	5	6	7	8
I	9,3	9,8	10,5	10,7	10,3	10,8	11,1	11,7
II	9,8	11,0	11,2	11,5	11,5	11,5	12,3	12,7
III	10,5	11,3	12,4	11,5	12,0	12,4	12,8	13,3
IV	12,3	13,0	13,5	13,1	13,5	14,0	14,8	15,3

Исходные данные в графическом представлении имеют следующий вид (рис. 2.5), где – кварталы; – торговый оборот.

Рис. 2.5

Для этого временного ряда рассчитаем скользящие средние и центрированные скользящие средние:

;

;

;

… …

;

;

;

… …

.

Исходные данные и скользящая центрированная средняя представлены на графике (рис 2.6).

Рис. 2.6

Затем определяем сезонную и случайную компоненту

; ;…, .

Исходные и расчетные данные для модели сезонной декомпозиции сведем в табл. 2.5, затем дадим пояснения для некоторых расчетных показателей.

Таблица 2.5

1	9,3				0,8938	10,405	10,626	9,498	0,979
2	9,8	10,475			0,9668	10,136	10,709	10,354	0,947	0,964	0,981	10,328
3	10,5	10,600	10,538	0,996	1,0056	10,442	10,792	10,852	0,968	0,971	0,997	10,474
4	12,3	10,900	10,750	1,144	1,1338	10,848	10,874	12,329	0,998	0,989	1,009	10,751
5	9,8	11,100	11,000	0,891	0,8938	10,964	10,957	9,794	1,001	1,010	0,991	11,062
6	11,0	11,275	11,188	0,983	0,9668	11,377	11,040	10,674	1,031	1,014	1,016	11,193
7	11,3	11,450	11,363	0,994	1,0056	11,238	11,123	11,185	1,0101	1,021	0,989	11,360
8	13,0	11,500	11,475	1,133	1,1338	11,466	11,205	12,705	1,023	1,025	0,999	11,483
9	10,5	11,775	11,637	0,902	0,8938	11,748	11,288	10,089	1,041	1,028	1,013	11,599
10	11,2	11,900	11,838	0,946	0,9668	11,584	11,371	10,994	1,019	1,045	0,975	11,887
11	12,4	11,950	11,925	1,040	1,0056	12,331	11,454	11,517	1,077	1,042	1,033	11,940
12	13,5	12,025	11,987	1,126	1,1338	11,907	11,536	13,080	1,032	1,046	0,986	12,071
13	10,7	11,800	11,912	0,898	0,8938	11,971	11,619	10,385	1,030	1,026	1,004	11,925
14	11,5	11,700	12,750	0,979	0,9668	11,895	11,702	11,314	1,016	1,006	1,011	11,769
15	11,5	11,000	11,650	0,987	1,0056	11,476	11,784	11,850	0,970	0,987	0,983	11,630
16	13,1	11,600	11,600	1,129	1,1338	11,554	11,868	13,456	0,974	0,969	1,004	11,505
17	10,3	11,725	11,663	0,883	0,8938	11,524	11,950	10,681	0,964	0,975	0,989	11,657
18	11,5	11,825	11,755	0,977	0,9668	11,895	12,033	11,634	0,988	0,979	1,009	11,783
19	12,0	11,950	11,887	1,009	1,0056	11,934	12,116	12,183	0,985	0,983	1,002	11,912
20	13,5	11,950	11,950	1,130	1,1338	11,907	12,199	13,831	0,976	0,982	0,994	11,975
21	10,8	12,050	12,000	0,900	0,8938	12,083	12,281	10,977	0,984	0,974	1,010	11,962
22	11,5	12,175	12,133	0,949	0,9668	11,895	12,364	11,954	0,962	0,979	0,983	12,103
23	12,4	12,250	12,213	1,015	1,0056	12,331	12,447	12,516	0,991	0,979	1,012	12,191
24	14,0	12,450	12,350	1,134	1,1338	12,348	12,530	14,206	0,985	0,987	0,999	12,366
25	11,1	12,550	12,500	0,888	0,8938	12,419	12,612	11,273	0,985	0,991	0,994	12,496
26	12,3	12,750	12,650	0,972	0,9668	12,772	12,695	12,274	1,002	0,994	1,008	12,623
27	12,8	12,900	12,825	0,998	1,0056	12,729	12,778	12,849	0,996	1,004	0,992	12,835
28	14,8	13,000	12,950	1,143	1,1338	13,053	12,861	14,582	1,015	1,007	1,007	12,957
29	11,7	13,125	13,063	0,896	0,8938	13,090	12,944	11,569	1,011	1,012	1,000	13,093
30	12,7	13,250	13,188	0,963	0,9668	13,136	13,026	12,594	1,008	1,010	0,999	13,151
31	13,3				1,0056	13,226	13,109	13,182	1,009	1,013	0,996	13,285
32	15,3				1,1338	13,494	13,192	14,957	1,023
33					0,8938		13,275	11,865
34					0,9668		13,357	12,914
35					1,0056		13,440	13,515
36					1,1338		13,523	15,332

В колонке, где определена скользящая средняя, нужно учитывать то, что данные должны быть сдвинуты и первое расчетное значение должно находиться между вторым и третьем кварталами, следующее – между третьим и четвертым и т.д., поэтому первая центрированная скользящая средняя начинается с третьего квартала.

Получив расчетные значения , группируем их по кварталам, чтобы определить .

Расчеты сведем в табл. 2.6.

Таблица 2.6

	1	2	3	4	5	6	7
I	0,891	0,902	0,898	0,883	0,900	0,888	0,896	0,894	0,8938
II	0,983	0,946	0,979	0,977	0,949	0,972	0,963	0,967	0,9668
III	0,994	1,040	0,987	1,009	1,015	0,998	0,996	1,006	1,0056
IV	1,133	1,126	1,129	1,130	1,134	1,143	1,144	1,134	1,1338

и т.д.

После определения значений сезонной компоненты исключаем ее из наблюдаемого временного ряда путем деления значений на , получая временной ряд : .

Временной ряд опишем линейным трендом, применив МНК, рассмотренный в разделе 2.3. Полученная линейная модель имеет следующий вид

.

Подставляя значения , получим теоретические значения тренда ( ) и, умножая значения тренда на значения сезонной компоненты, получим ретроспективный прогноз временного ряда (на графике – ). Если в полученную модель тренда подставить значения и умножить полученные значения тренда на значения сезонной компоненты, определим перспективный прогноз на девятый год по кварталам (рис. 2.7).

Теоретические значения довольно близки к наблюдаемым значениям временного ряда .

Рис. 2.7

Далее выделяем циклическую и случайную компоненту . С помощью трехчленной скользящей средней очищаем циклическую компоненту от случайной составляющей. Затем находим значения циклической компоненты совместно с трендом , представляем их графически и сравниваем с трендовыми значениями временного ряда.

Предполагают, что циклическая компонента не растет (не падает) постоянными темпами и состоит из периодов относительного подъема и спада и причиной этих изменений в экономических показателях является изменение спроса и предложения. Это предположение подтверждается графическими данными (рис. 2.8).

Рис. 2.8

Из графика видно, что спрос на продукцию фирмы колеблется, но видна общая тенденция роста. После 11-го квартала наблюдается падение спроса до 16-го квартала, а затем медленное увеличение его.