Раздел 4. Динамические модели прогнозирования
В динамических задачах модели отражают зависимость входящих в них переменных не только от фактора времени, но и их временную взаимосвязь. Время в экономических процессах может рассматриваться как непрерывное или дискретное. Большинство моделей, рассматриваемых в теоретическом аспекте, принадлежат к непрерывному типу, в прикладных эконометрических исследованиях модели обычно представляют в виде систем конечно-разностных уравнений.
4.1. Принципы построения непрерывных динамических моделей
Исследование экономических процессов приводит к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения. Уравнение, связывающее независимую переменную, ее функции и производные этой функции называют дифференциальным уравнением. Дифференциальные уравнения делят на две группы. К первой группе относятся уравнения, в которые входят производные только по одной переменной. Такие уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Если в уравнение входят производные по нескольким переменным, то такие уравнения называются дифференциальными уравнениями в частных производных.
Для составления дифференциальных уравнений нет общих правил, и навыки в их составлении могут быть получены при изучении конкретных примеров.
Рассмотрим простой пример построения отраслевой модели с использованием дифференциального уравнения [2].
Процесс производства различных фирм отрасли аппроксимируется следующими уравнениями:
(4.1)
Mi=diQ,
(4.2)
где
– количество труда, используемое
-й
фирмой;
– выпуск продукции в единицу времени
-й
фирмой;
– количество материала, используемого
в единицу времени
-й
фирмой;
,
,
,
– параметры моделей, определяемых по
МНК;
(
– количество фирм).
Из уравнения (4.1) следует
,
что выпуск продукции на единицу труда будет возрастающей функцией, если
,
и, наоборот, убывающей функцией, если
.
В данном подходе предполагается, что каждая фирма в отрасли имеет фиксированный объем основного капитала и изменение выпуска продукции обусловлено лишь изменением затрат труда и материалов, следовательно, прибыль, получаемая каждой фирмой имеет вид
(4.3)
где
– прибыль
-й
фирмы;
– цена продукции;
– ставка заработной платы;
– цена
материалов.
Цена рассматривается в тех пределах, в которых каждая фирма получает прибыль.
Подставив в (4.3) уравнения (4.1) и (4.2) получим
.
Для максимизации прибыль по объему выпуска продукции необходимо
.
Откуда
.
Введем
обозначения:
.
Окончательно получим объем выпуска продукции по отрасли
(4.4)
Полученную функцию называют функцией предложения. Данная функция обладает следующими свойствами:
,
,
,
если
.
Эти
условия необходимы, чтобы
.
Предположим, что спрос на продукцию отрасли есть функция трех переменных: цены продукции, дохода по отрасли и индекса цен всех остальных потребительских товаров; и что функция линейна относительно этих независимых переменных, тогда функцию спроса можно выразить следующим образом:
,
(4.5)
где
(
– объем реализованной продукции
-й
фирмой);
– доход по отрасли, (
– доход
-й
фирмы);
–
индекс цен
всех остальных потребительских товаров;
,
,
– параметры, определяемые по МНК.
Из уравнения (4.5) следует:
;
.
Цена равновесная тогда, когда спрос и предложения равны
.
Если
,
то
=24,591.
Тогда
график зависимости
таков (рис. 4.1), при цене
<
равновесной
Рис. 4.1
Если > равновесной, то график этой зависимости такой (рис. 4.2)
Рис. 4.2
Рассмотренная
нами равновесная цена вряд ли соответствует
реальной действительности. Цены на
продукты фирм отрасли не являются
постоянными и могут отклоняться в ту
или другую сторону, следовательно, и
запасы различных фирм
– могут увеличиваться или уменьшаться
одновременно.
Поэтому рассмотрим изменение цены в зависимости от спроса X и предложения Q, описываемого следующим дифференциальным уравнением и определяющим скорость роста цен пропорционально превышению спроса над предложением
.
(4.6)
Данное уравнение отражает независимые решения фирм об изменении цены в зависимости от спроса.
Система
уравнений (4.4)-(4.6) определяет изменение
эндогенных переменных
,
и
во времени в зависимости от экзогенных
переменных
,
,
и
,
следовательно, возможно прогнозирование
поведения переменных
,
и
при определенных допущениях о поведении
экзогенных переменных.
Подставим в уравнение (4.6) уравнения (4.4) и (4.5) и в результате получим
или
.
Решим это обыкновенное дифференциальное уравнение в Mathcad с помощью преобразования Лапласа
.
Введем
обозначения:
.
Решаем полученное уравнение относительно L
.
Аналитическое
решение данного дифференциального
уравнения получается довольно громоздким
даже с оператором упрощения simplify,
поэтому решим его численно для заданных
параметров модели
;
;
;
;
;
;
,
начального значения цены
и заданных значений эндогенных переменных
;
;
;
.
Результат решения таков:
.
Функция
цены от времени такова:
.
Запишем функции спроса и предложения следующим образом
;
,
а скорость изменения
запаса выпускаемой продукции так
.
Прогнозные
значения эндогенных переменных на
отрезке времени
представлены графически (рис. 4.3).
Рис.4.3
Из
приведенного графика решений видно,
что в случае неизменности экзогенных
переменных спрос, предложение и цена
сходятся к своему устойчивому равновесию
и
при
.
Конечно, рассматриваемый период времени довольно большой, и вряд ли можно принять неизменными экзогенные переменные во времени, как представлено графически, но поведение экзогенных переменных также может быть определено в виде моделей прогноза.
Рассмотренная модель является простейшей моделью, в которой не учтены следующие показатели: основной капитал и его изменение, спрос и предложение денег, спрос на рабочую силу и ряд других важнейших макроэкономических показателей, с помощью которых возможен более глубокий экономический анализ и регулирование.