3.3. Модель, содержащая несколько уравнений

При статистическом моделировании сложных экономических процессов одна и та же переменная может в одном уравнении быть независимой переменной, т.е. являться причиной изменения результирующего показателя, а в другом сама выступает в роли зависимой переменной*. Рассмотрим простой пример, содержащий два уравнения, записанных в векторной форме

y₁=₁ y₂+₂ X₁+₁

y₂=₁ y₁+₂ X₁+₂

Если рассматривать каждое уравнение в отдельности, то они являются обычными регрессионными уравнениями и параметры модели , и , определяются по МНК. Но y₁ и y₂ входят как в правые так и в левые части уравнений и их уже нельзя считать независимыми, так как они определяются в один и тот же момент времени .

Рассмотренный тип модели не позволяет делить переменные, входящие в модель, на зависимые и независимые, как это принято в регрессионных моделях с одним уравнением.

________

*Здесь не рассматривается система рекурсивных уравнений, параметры которой находятся обычным МНК.

В моделях, содержащих несколько уравнений, выделяют следующие переменные:

- эндогенные, определяемые в процессе решения системы уравнений и связанные со случайными ошибками ₁ и ₂ (для нашего примера y₁ и y₂);

- экзогенные, заранее определенные переменные (для нашего примера X₁).

Если экзогенная переменная определена в момент времени , то она называется лаговой или запаздывающей переменной. Экзогенные и лаговые переменные называют предопределенными переменными. Количество эндогенных переменных должно быть равно количеству уравнений в системе.

В предыдущих разделах нами были рассмотрены модели, опирающиеся на эмпирическую информацию временных рядов и на информацию о причинно-следственных связях с одним уравнением. Чтобы оценить параметры взаимосвязанных уравнений, необходима не только эмпирическая информация, но и априорная информация, основанная на экономической теории. Описываемая уравнениями структурная форма эконометрической модели должна отражать причинно-следственные связи функционирования экономической системы. Построение таких моделей и оценка их параметров связана с определенными трудностями. Есть ли необходимость в построении таких моделей, не лучше ли использовать только временные ряды для осуществления прогнозов? Ответ только один, если нарушается устойчивость временного ряда, то информация о структуре причинно-следственных связей становится необходимой.

Рассмотрим упрощенную структурную форму модели

,

где – потребление; – валовый национальный продукт (без учета чистого экспорта), – валовые инвестиции; – государственные расходы, и – случайные ошибки; – макроэкономическое балансовое тождество.

В этой модели , , – эндогенные переменные, а – экзогенная переменная.

Представим структурную модель в следующем виде:

.

и запишем ее в матричной форме

,

где – матрица параметров при эндогенных переменных; – матрица параметров при экзогенных; – вектор эндогенных переменных; – вектор экзогенных переменных.

Косвенный метод наименьших квадратов (ILS).

Трудности, возникающие при оценке совместных уравнений, происходят из-за того, что вводятся значения эндогенных переменных в правую часть уравнений в качестве независимых переменных. Так как эндогенные переменные коррелированы со случайными ошибками, а экзогенные нет, то необходимо модель преобразовать так, чтобы в правой части уравнений не было эндогенных переменных. Предполагая, что матрица невырождена, умножим левую и правую часть матричного равенства слева на и в результате получим , где – коэффициенты приведенной формы; – случайные ошибки в приведенной форме.

Вся система уравнений называется приведенной формой модели, когда эндогенные переменные выражены через экзогенные. Можно получать прогнозные значения вектора эндогенных переменных при заданных значениях экзогенных переменных , если определены коэффициенты приведенной формы.

Получим для нашей модели коэффициенты приведенной формы в символьном виде.

Н аходим

и уравнения в приведенной форме

.

Введем обозначения:

;

;

.

Тогда матрицу можно представить следующим образом

.

Параметры , , , , , определяем по МНК, так как экзогенная переменная не коррелирована с ошибками рассматриваемых уравнений.

Если модель точно идентифицирована, то при заданной матрице можно получить однозначные значения структурных коэффициентов из системы уравнений .

Идентификация предполагает ответ на следующий вопрос: есть ли возможность определить (идентифицировать) структурные параметры модели на основе приведенной формы. Выделяют три группы моделей: точно идентифицируемые, неидентифицируемые и сверхидентифицируемые. При сверхидентифицируемой модели на основе коэффициентов приведенной формы можно получить несколько различных значений одного и того же структурного коэффициента. При точно идентифицируемой модели на основе коэффициентов приведенной формы можно получить однозначные результаты структурных коэффициентов. И при неидентифицируемой модели коэффициенты приведенной формы не позволяют получить структурные параметры модели.

Дадим определение метода идентификации одного уравнения.

Необходимое условие идентификации:

- структурное уравнение будет точно идентифицировано, если в отдельно взятом уравнении число отсутствующих экзогенных и лаговых переменных равно числу эндогенных переменных в уравнении минус единица ;

- структурное уравнение будет сверхидентифицировано, если в отдельно взятом уравнении число отсутствующих экзогенных и лаговых переменных , больше числа эндогенных переменных в уравнении минус единица ;

- структурное уравнение будет неидентифицировано, если в отдельно взятом уравнении число отсутствующих экзогенных и лаговых переменных меньше числа эндогенных переменных в уравнении минус единица .

Достаточное условие идентификации:

Определитель матрицы A, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в рассматриваемом уравнении, не равен нулю и ранг этой матрицы ≥ числу эндогенных переменных в системе минус единица .

Рангом любой матрицы называется число линейно-независимых строк (столбцов), содержащихся в этой матрице. Ранг матрицы равен нулю только тогда, когда рассматривается нулевая матрица, во всех остальных случаях ранг матрицы – положительное число.

Рассмотрим необходимое и достаточное условие идентификации на нашем примере

(1)

(2)

, (3)

где , , – эндогенные переменные, а – экзогенная переменная.

Для рассматриваемой системы уравнений подлежат идентификации только два, так как третье уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны и необходимость его идентификации отсутствует.

Необходимое условие идентификации:

Для 1-го уравнения число отсутствующих (экзогенных и лаговых переменных) – 1 , значит . Определяем число эндогенных переменных в этом уравнении – 2( , ), значит , следовательно, уравнение точно идентифицируемое, так как .

Для 2-го уравнения число отсутствующих (экзогенных и лаговых переменных) – 1 , значит . Определяем число эндогенных переменных в этом уравнении – 2( , ), значит , следовательно, уравнение точно идентифицируемое, так как .

Достаточное условие идентификации:

Для 1-го уравнения: в нем отсутствуют следующие переменные , . Составим табл. 3.5.

Таблица 3.5

Уравнение	Отсутствующие переменные
второе	-1	0
третье	1	1

. Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, ее называют матрицей полного ранга, следовательно, . Так как количество эндогенных переменных , то выполняется достаточное условие идентификации .

Для 2-го уравнения: в нем отсутствуют следующие переменные , . Составим табл. 3.6.

Таблица 3.6

Уравнение	Отсутствующие переменные
первое	-1	0
третье	1	1

Матрица такая же, как и для первого уравнения, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации и для 2-го уравнения.

Следовательно, структурные коэффициенты модели идентифицируемые.

Выразим структурные коэффициенты в символьном виде, используя полученную матрицу

.

Решая эту систему относительно , , , , получим:

;

;

;

; .

Те же результаты в приведенной форме можно получить, не используя матричных обозначений. Если в уравнение (3) системы подставим уравнения (1) и (2) и выразим , то получим

.

Затем выражение y_t в приведенной форме подставляем в уравнения (1) и (2) и получаем

.

Для возвращения из приведенной формы к структурной модели нужно подставить значения приведенной формы в первоначальные уравнения и разрешить их относительно структурных коэффициентов:

;

; ;

; ;

;

; ;

.

Результат получен тот же самый, что и с использованием матричного способа. Рассмотрим пример оценивания параметров структурной модели по данным, представленным в табл. 3.7, с использованием косвенного МНК (ILS).

Таблица 3.7

Ct	It	Gt	Yt
1748,1	467,6	507,1	2722,8
1926,2	558,0	561,1	3045,3
2059,2	503,4	607,6	3170,2
2257,5	546,7	652,3	3456,5
2460,3	718,9	700,8	3880,0
2667,4	714,5	772,3	4154,2
2850,6	717,6	833,0	4401,2
3052,2	749,3	881,5	4683,0
3296,1	793,6	918,7	5008,4
3523,1	832,3	975,2	5330,6
3761,2	808,9	1047,4	5617,5
3902,4	744,8	1097,4	5744,6
4136,9	788,3	1125,3	6050,5
4378,2	882,0	1148,4	6408,6
4627,0	1037,5	1174,5	6839,0

На первом этапе определяем обычным МНК (OLS) коэффициенты приведенной формы модели.

; ; ; ; .

(118,2) (0,1323) .

; ; ; ; .

(164,0) (0,1835) .

; ; ; ; .

(73,5) (0,0822) .

Определяем структурные параметры модели:

;

;

;

.

Структурная форма модели будет такова:

;

;

.

Получим прогнозные значения вектора эндогенных переменных при заданном значении экзогенной переменной

.

Балансовое тождество .

Для заданного вектора государственных расходов экзогенной переменной в размере значения эндогенных переменных представлены графически (рис. 3.9).

Рис. 3.9

Двухшаговый метод наименьших квадратов (2SLS).

Для оценки системы совместных уравнений можно использовать двухшаговый метод наименьших квадратов. Суть его в следующем:

- на первом шаге составляются приведенные уравнения, т.е. выражаются эндогенные переменные через экзогенные и параметры этих уравнений оцениваются по МНК.

- на втором шаге полученные теоретические значения эндогенных переменных подставляют в исходную систему совместных уравнений и вновь параметры системы оцениваются по МНК. Полученные таким образом оценки параметров являются состоятельными.

Пусть необходимо оценить параметры системы совместных уравнений, имеющих следующий вид

,

где – темп инфляции; – уровень безработицы; – темп изменения ставки зарплаты; – ожидаемый темп инфляции; – темп изменения производительности труда.

В этой системе и эндогенные переменные, остальные показатели – экзогенные переменные. Выразим эндогенные переменные через экзогенные. В результате получим

.

Перепишем приведенные уравнения в следующем виде

.

Неизвестные параметры приведенных уравнений найдем с помощью МНК. Исходные данные и теоретические значения и приведены в табл. 3.8.

Таблица 3.8

4,67	3,11	1,8	9,17	-1,12	5,36	4,00
4,35	1,87	1,5	3,11	4,55	5,89	3,48
6,84	4,48	1,2	1,87	4,35	6,81	4,05
8,00	4,97	1,3	4,48	2,09	6,66	4,32
5,19	3,64	1,6	4,97	0	5,85	3,93
3,79	3,02	2,2	3,64	1,02	3,91	2,37
2,71	0,55	2,3	3,02	1,01	3,59	2,09
4,29	1,02	1,7	0,55	5,00	5,20	2,75
6,33	3,49	1,6	1,02	3,81	5,58	3,15
4,62	4,16	2,1	3,49	0	4,27	2,69
3,70	2,06	2,6	4,16	1,83	2,63	1,44
5,15	3,3	1,7	2,06	4,50	5,25	2,95
6,33	4,73	1,5	3,30	6,03	5,81	3,34
6,63	3,90	1,6	4,73	1,63	5,76	3,73

На втором шаге вновь применяем МНК с использованием полученных теоретических значений и

.

Результаты оценки структурных параметров таковы:

.

Если полученные уравнения выдержали все критерии проверки, то их можно использовать для прогноза эндогенных переменных, задаваясь значениями экзогенных переменных.

Вопросы, задания и ответы

1. Как проверить значимость параметров модели?

2. Расчет коэффициента детерминации и его значимости.

3. Дайте характеристику коэффициенту детерминации. Какое отрицательное свойство имеет коэффициент детерминации?

4. Для каких целей используется критерий Дарбина-Уотсона?

5. Способы преодоления автокорреляции остатков.

6. Как определяется доверительный интервал прогноза?

7. Что такое мультиколлинеарность и способы ее преодоления?

8. Рассчитайте парный коэффициент корреляции по следующим данным:

0,8 2,2 0,1 3,0 2,2 0,8

1 1 2 2 3 3.

Ответ: .

9. Рассчитайте доверительный интервал для точечного прогноза по следующим данным:

; ; ; ; .

Ответ: 3,532-18,068.

10. Что такое стандартизованные коэффициенты модели?

11. Даны два уравнения в натуральном выражении и стандартизованном . Покажите, что связь между и такова: .

12. Дайте характеристику эндогенным, экзогенным и лаговым переменным.

13. Что такое структурная и приведенная форма одновременных уравнений?

14. Дана система одновременных уравнений в структурной форме

; ,

где и эндогенные переменные.

Запишите эту систему в приведенной форме.

15. Дана система одновременных уравнений в структурной форме

.

В матричном виде эта система такова .

Распишите в символьном виде значения векторов и матриц .

16. Как определяются структурные параметры системы одновременных уравнений с помощью двухшагового метода наименьших квадратов?

17. Дана модель определения дохода, включающая одну зависимость, определяющую расходы и макроэкономическое тождество

,

где – расходы на потребительские товары; – доход; – расходы на прочие товары.

В этой системе и – эндогенные переменные, определяемые в процессе решения системы уравнений, и – лаговая и экзогенныя переменные, заранее определенные.

1. Определите, идентифицируемо ли структурное уравнения модели.

2. Представьте данную систему уравнений в матричном виде , где – матрица параметров при эндогенных переменных; – вектор эндогенных переменных; – матрица параметров при экзогенных переменных; – вектор экзогенных переменных; – вектор остатков.

3. Решите уравнение в матричном виде относительно вектора эндогенных переменных .

4. Представьте данную систему уравнений в приведенной форме.

5. Определите структурные параметры модели , используя косвенный метод наименьших квадратов (ILS).

6. Определите структурные параметры модели , используя двухшаговый метод наименьших квадратов (2SLS).

7. В каком случае совпадают оценки структурных параметров по ILS и по 2SLS.

Для решения данного задания используйте следующие данные:

Ct	30,5	33,0	35,2	37,6	39,0	41,4	43,8	46,3
Ct-1	24,6	30,5	33,0	35,2	37,6	39,0	41,4	43,8
Yt	38,2	40,8	43,8	46,7	48,6	51,5	53,8	57,0
I	7,7	7,8	8,6	9,1	9,6	10,1	10,0	10,7

Ответы: 5. 6.