6.3. Распределение заказов издательств

МЕЖДУ ПОЛИГРАФИЧЕСКИМИ ПРЕДПРИЯТИЯМИ ПРИ ПОМОЩИ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

При планировании полиграфической промышленности важно правильно распределить заказы издательств меж­ду полиграфическими предприятиями. В результате этого каждое предприятие должно получить работы, параметры и характер исполнения которых наиболее бы полно со­ответствовали их возможностям -- парку оборудования, технологии и организации производства. Совокупность этих заказов должна быть основой для формирования оп­тимального тематического плана каждого предприятия.

Формирование оптимальных тематических планов на основе простого сопоставления возможных вариантов размещения заказов не дает желаемых результатов. Чис­ло таких вариантных решений может быть чрезмерно большим, а сам процесс сопоставления -- весьма трудо­емким, поэтому избранный вариант нередко бывает дале­ко не оптимальным. Поэтому для правильного распреде­ления заказов издательств между полиграфическими предприятиями и формирования на основе этого опти­мальных тематических планов большое значение приоб­ретают экономико-математические методы и использова­ние ЭВМ.

Оптимальный вариант распределения заказов между полиграфическими предприятиями может быть найден методами линейного программирования и составления экономико-математической модели.

Рассмотрим это на общем примере.

Заказы из ряда издательств должны быть изготовлены в п ти­пографиях. В каждой из них имеется оборудование т типов (пло­скопечатные, листовые ротационные, рулонные ротационные н дру­гие машины), при этом в 1-й типографии (і=1, 2, ..., п) есть а_ji еди­ниц оборудования і-го типа (j=1, 2,..., m).

Все заказы издательств объединены в несколько групп по ос­новным характеристикам (тиражу, формату, группе сложности и др.), при этом в r-й группе (r=1, 2, ..., R) имеется b_rг заказов.

Известна трудоемкость печатания г-го заказа на оборудовании j-го типа — t_rj, а также себестоимость С_rji (или прибыль S_rji) в каждой типографии. Фонд времени работы единицы оборудования j-го типа в і-й типографии равен Т_ji.

Все заказы издательств необходимо распределить таким обра­зом, чтобы общие затраты на их печатание были минимальными (или чтобы прибыль была максимальной). Таким образом, необхо­димо определить, сколько заказов каждой группы должно быть напечатано на оборудовании каждого типа в каждой типографии, т. е. определить Х_rji. Очевидно, что величины Х_rji —. целые числа.

Запишем математическую модель рассматриваемой экономиче­ской задачи.

Функция цели

Поскольку себестоимость печатания одного заказа г-н группы на оборудовании j-го типа i-й типографии равна С_rji, а число за­казов из этой группы, которое печатается на j-м оборудовании 1-й группы, равно Х_rji. то затраты на изготовление заказов г-н группы на j-м оборудовании i-Й типографии будут равны С_rji • Х_rji. Затраты 1-й типографии на печатание заказов г-н группы на всех типах оборудования составят

а затраты этой же типографии на

печатание заказов всех групп будут составлять

Поэтому общие затраты всех типографий на печатание всех заказов будут равны

(6.11)

Аналогично общая прибыль от печатания всех заказов во всех типографиях составит

(6.12)

Таким образом, цель распределения заказов — минимизация величины L₁ или максимизация L₂. Величина L₁ (соответственно и L₂) является функцией цели поставленной задачи распределения заказов.

Балансовые условия

При решении данной задачи считаем, что мощностей всех ти­пографий достаточно для печатания всех заказов. Если на j-м обо­рудовании i-й типографии изготовляется Х_rji заказов из г-н группы, то общее число заказов г-н группы в i-й типографии равно

Число заказов г-н группы, печатаемых во всех типографиях, очевидно, будет равно

Так как все b_rг заказы из r-й группы должны быть напечатаны, имеем равенство

(6.13)

Поскольку трудоемкость изготовления одного заказа r-й груп­пы на j-м оборудовании равна t_rji трудоемкость изготовления всех заказов г-й группы на оборудовании j-го типа i-й типографии рав­на t_rj ∙ X_rji. Трудоемкость изготовления всех заказов на оборудовании j-го типа i-й типографии равна

Каждая единица оборудования j-го типа i-й типографии может быть загруженной не больше, чем на T_ji часов. В связи с этим для каждого типа оборудования в каждой типографии должно соблюдаться неравен­ство

Условия (6.13) и (6.14) называются балансовыми условиями распределения заказов.

Граничные условия

Поскольку Х_rji — это число заказов из r-й группы, то все ве­личины Х_rji должны быть целыми числами и, кроме того, удовлет­ворять условиям:

Условия (6.15) называются ограничивающими условиями за­дачи распределения заказов.

Таким образом, задача распределения заказов между типогра­фиями свелась к нахождению минимума линейной формы (6.11) или максимума линейной формы (6.12) при линейных ограничениях (6.13—6.15). Задачи (6.11—6.15) являются задачами целочисельного линейного программирования. Каждая из этих задач служит эко­номико-математической моделью задачи распределения заказов между предприятиями.