7. Частинні похідні. Диференційованість функцій багатьох змінних.

Озн. Нехай визначена на Д. Точка М(х,у) є Д. Надано х таких приріст , але так,щоб є Д. Вираз наз. частинним приріст функції по змінній х у точці М. Аналогічно визначається частинний приріст функції по у:

Озн. Частиною похідною функції у т. М. наз. границя .

Цю похідну позначають символами , якщо йдеться про значення частинної похідної у т. М. : . Аналогічно визначається частинна похідна по змінній у.

.

Розглянемо z’x ,взагалі кажучи ця похідна є функцією, яка визначена на Д. Якщо обчислювати похідні від цієї функції по змінним х і у одержані похідні наз. частинними похідними 2-го порядку. .

Теорема(Шварча)

Нехай у т. визначена і функція разом зі своїми частинними похідними , якщо похідні і неперервні у точці , то

Наслідок. Наведена теорема справедлива для будь-яких неперервних мішаних похідних, які відрізняються лише порядком диференціювання.

Озн. Нехай , точка М(х,у)<D, розглянемо т. є Д.Повним прирістом функції z=f(x,y) у точці М наз. величину .

Озн. Функція наз. диференційованою у т. М, якщо її повний приріст в цій точці можна пожати у вигляді (1), де А,В- дійсні числа, -н.м. функції(якщо

Теорема1.(неперервність диференційованої функції)

Якщо функція диференційована у т.М., вона неперервна в цій точці.

Перейдемо до(1) границі , функція неперервна за 2-гим означен. неперервності

Теорема2(існування частинних похідних у диференційованій функції)

Якщо неперервна у т.М. в цій точці існують частинні похідні 1-го порядку

Теорема3.(достатні умови диференційованості функцій багатьох зміних)

Якщо має у деякому околі т.М частинні похідні і ці похідні неперервні в цій точці М, то функція диференційна у т. М.

8. Невласні інтеграли 1 роду.

Нехай на проміжку визначена функція яка є інтегрованою на будь-якому відрізку де

Озн. Якщо існує границя то її наз. невласним інтегралом 1 роду і позначають формулою тобто за означенням (1)

Рисунок!!)

Озн. Якщо в (1) границя існує і скінчена, невласний інтеграл наз. збіжним, а саму функцію інтегрованою на проміжку Аналогічно визначається невласний інтеграл (2)

Рисунок 2!!))))

Якщо обидві границі дорівнюють нескінченості, то невласний інтеграл визначаеться так: де с-довільна точка прямої. Інтеграл (3) вважають збіжним, якщо збігаються обидва невласні інтеграли у формулі (3)

Конструктивно невласні інтеграли 1 роду відрізняють від визначених. Визначені інтеграли є границями інтегральних сум. Невласні інтеграли визначаються , як границі інтегралів із змінними межами інтегрування.

Розглянемо деякі достатні ознаки збіжності невласних інтегралів 1 роду:

Теорема 1(ознака порівняння)

Нехай функції додатні і неперервні на проміжку в усіх точках якого виконується нерівність тоді із збіжності інтегралf випливає збіжність а із розбіжності від випливає розбіжність

Теорема 1 має ростий геом.. зміст.

МАЛЮНОК!=)

Якщо площа більшої необмеженої фігури скінчена величина, то площа меншої необмеженої фігури також скінчена. У випадку коли площа нескінчена, площа більшої за розміром фігури також нескінчено велика.

Теорема 2(гранична ознака порівняння)

Нехай функції додатні і неперервні на проміжку Якщо інтеграли збігаються або розбігаються одночасно

Теорема 3

Якщо збігається то збігається

Зауваження . твердження обернене до теореми 3 неправильне. Із збіжності не випливає У зв’язку з цим випливають спеціальні означення.кщо разом з інтегралом

Збігається кажуть, що невласний інтеграл збігається абсолютно. Якщо перший інтеграл збігається, а другий розбіжний кажуть, що невласний інтеграл збігається умовно.

Путеводитель: