Случай плоских однородных гармонических волн в вакууме.
Рассмотрим скалярную однородную плоскую
гармоническую волну с волновым вектором
и круговой частотой
;
(75)
Напомним определение оператора "лапласиан":
(76)
Последовательно вычислим выражения
(77)
(78)
(79)
(80)
В итоге получаем соотношение:
(81)
фазовая скорость волны:
(82)
Воспользуемся полученными результатами для анализа однородной плоской гармонической электромагнитной волны;
(83)
(84)
(85)
(86)
калибровка Лоренца
(87)
приводит к уравнению:
(88)
условия удовлетворения этому требованию:
(89)
Из (88) следует соотношение между амплитудами компонент векторного потенциала и амплитудой скалярного потенциала:
(90)
В соответствии с определением потенциалов электромагнитного поля получаем зависимости
(90)
следствия:
волна поперечная (91)
действительно:
(92)
для плоских однородных гармонических волн все свойства доказаны
вектор нормали к волновому фронту
(93)
вектор Пойнтинга (он не является линейной функцией, требуется переход от комплексных выражений к действительным выражениям)
(94)
(95)
(96)
(97)
(98)
(99)
С учётом соотношения
(100)
получаем выражение для мгновенного значения вектора Пойнтинга
(101)
основной результат при этом состоит в том, что вектор Пойнинга в рассматриваемом случае совпадает по направлению с волновым вектором, который перпендикулярен плоскости волнового фронта:
(102)
Продолжение
Калибровка Кулона.
Условие калибровки Лоренца не является исчерпывающим: можно ещё наложить добавочное ограничение на потенциалы электромагнитного поля. В частности, можно дополнительно потребовать выполнение условия
(103)
В этом случае уравнение для скалярного потенциала электромагнитного поля принимает вид уравнения Пуассона
,
(104)
решение которого для безграничного пространства можно записать в форме интеграла Пуассона:
(105)
Уравнение для векторного потенциала при этом переходит в неоднородное волновое уравнение с известной правой частью
(106)
Решение полученного "стандартного" уравнения рассматривается в курсах математической физики.
Поскольку уравнение (103) приводит к уравнению Пуассона (104) и решению в форме интеграла Пуассона (105), уравнение (103) называют калибровкой Кулона (кулоновская калибровка).