Д1.4. Залежність можливої похибки округлення числа від кінцевої кількості значущих цифр у ньому
У процесі виконання інженерних обчислень доводиться неодноразово округлювати проміжні результати, а також і кінцевий результат. При цьому у кожен отриманий результат неминуче вноситься деяка похибка, яку називають похибкою округлення. При великій кількості проміжних результатів похибки округлення накопичуються, у результаті чого результуюча похибка округлення може стати неприпустимо великою і спотворити кінцевий результат обчислення до невпізнання.
Щоб цього не сталося, слід памۥятати наступне:
а) якщо нам надано число з однією значущою цифрою (1, 2, 3,…, 9, або 0,1, 0,2, 0,3, …, 0,9 тощо), то ми не можемо знати, яким воно було до округлення. Якщо, наприклад, нам надано число 1, то ми напевне знаємо лише те, що до округлення воно мало значення у межах від 0,5 або 1,5. З такого припущення випливає, що надане нам число 1 може мати абсолютну похибку округлення у межах від 0 до ±0,5. Відносна похибка округлення, за нашою оцінкою, при цьому може мати будь-яке значення у межах від 0 до ±0,5/1 = ±0,5, тобто до ±50 %;
б) якщо нам надано число з двома значущими цифрами (10, 11, 12,…, 99, або 0,10, 0,11, 0,12, …, 0,99 тощо), то ми теж не можемо знати, яким воно було до округлення. Якщо, наприклад, нам надано число 10, то ми напевне знаємо лише те, що до округлення воно мало значення у межах від 9,5 або 10,5. З такого припущення випливає, що надане нам число 10 може мати абсолютну похибку округлення у межах від 0 до ±0,5. Відносна похибка округлення при цьому може мати будь-яке значення у межах від 0 до ±0,5/10 = ±0,05, тобто до ±5 %;
в) якщо нам надано число з трьома значущими цифрами (100, 101, 102,…, 199, або 0,101, 0,102, 0,103, …, 0,199 тощо), то таким же чином, як і у попередніх випадках, ми можемо показати, що відносна похибка округлення може мати будь-яке значення у межах від 0 до ±0,5/100 = ±0,005, тобто до ±0,5 %;
г) аналогічним чином можна показати, що відносна похибка числа, округленого до чотирьох значущих цифр, може досягати 0,05 %.
Таким чином, кожне окреме округлення може вносити у число похибку такого розміру:
– при округленні до чотирьох значущих цифр – до 0,05 %;
– при округленні до трьох значущих цифр – до 0,5 %;
– при округленні до двох значущих цифр – до 5 %;
– при округленні до однієї значущої цифри – до 50 %.
Д1.5. Форма запису кінцевих результатів технічних обчислень
Похибки округлення, які мають розмір менше 1 %, можна вважати неістотними для кінцевих результатів технічних обчислень.
Тому кінцеві результати технічних обчислень можна округлювати до трьох значущих цифр, тобто наводити їх у вигляді 0,00125, 12,5, або 0,125·103 – див. підпункт „в” попереднього пункту.
Саме так у фізичних та технічних довідниках наводять найбільш уживані константи – число π = 3,14, прискорення земного тяжіння g = 9,81, основа натуральних логарифмів е = 2,72 тощо.
Округлювати кінцеві результати технічних обчислень до меншої кількості значущих цифр (тобто записувати їх у вигляді наприклад π = 3,1, g = 9,8, основа натуральних логарифмів е = 2,7) не можна, бо вони можуть мати у десятки разів більшу похибку округлення.
Д1.6. Форма запису проміжних результатів технічних обчислень
Під час послідовного виконання ряду математичних дій відбувається накопичення похибок округлення проміжних результатів обчислень. Внаслідок цього похибки округлення проміжних результатів обчислення повинні бути щонайменше на один порядок (у 10 разів) меншими, ніж похибки округлення кінцевих результатів.
Це означає, що всі проміжні результати обчислень повинні мати похибку округлення не більшу, ніж 0,05 %, що досягається їх округленням до не менш як чотирьох значущих цифр. Тобто будь-які проміжні результати обчислень слід записувати у вигляді (наприклад) 0,001258, 12,58, або 0,1258·103.
Виконання цієї вимоги робить неможливим накопичування похибок округлення проміжних результатів (у процесі невеликої кількості обчислень) до значення, яке могло б призвести до похибки кінцевого результату, більшої 1 %.
Округлювати проміжні результати обчислень до меншої кількості значущих цифр (до трьох, двох чи однієї) не можна, бо вони матимуть відповідно у десятки, сотні чи тисячі разів більшу похибку округлення.
Записувати результати проміжних обчислень з більшою кількістю значущих цифр, ніж чотири, немає потреби. Це не принесе практичної користі, а лише ускладнить запис і збільшить ймовірність механічних помилок при діях з такими числами.
Приклад. Двигун розвиває потужність N=30 кВт при кутовій швидкості обертання колінчастого вала ω = 550 рад/с. Крутний момент двигуна М за цих умов дорівнює:
4
кН·м.
Якщо це значення буде використовуватись для подальших обчислень, то його слід записати з чотирма значущими цифрами:
М = 0,05455 кН·м.
Це забезпечить точність чотирьох значущих цифр результату обчислень, для отримання якого буде використовуватись дане значення крутного моменту. Наприклад, значення потужності двигуна, обчислене за крутним моментом, дорівнюватиме:
кВт.
Якщо ж значення крутного моменту округлити до трьох значущих цифр (М = 0,0545 кН.м), то при його використанні буде отримано результат лише з трьома точними значущими цифрами (з одним точним знаком після коми):
кВт.
Якщо ж значення крутного моменту округлити до двох значущих цифр (М = 0,055 кН.м), то при його використанні буде отримано результат лише з двома точними значущими цифрами (без жодного точного знака після коми):
кВт.
Таким чином, з наведеного прикладу випливає таке правило:
скільки значущих цифр залишають при округленні проміжних результатів обчислень, стільки ж (або менше) значущих цифр і буде вірними у кінцевому результаті обчислень.
У даних методичних вказівках наводяться приклади виконання багатьох обчислень. При виконанні курсової роботи аналогічні обчислення слід виконувати з такою ж кількістю значущих цифр, як і у наведених прикладах.