Приклад виконання лабораторної роботи
Розв’яжемо приведену систему методами простої ітерації та Зейделя.
Метод простої ітерації
Сформуємо матрицю коефіцієнтів при невідомих – α; вектор вільних членів –β:
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
β |
0,32 |
-0,05 |
0,11 |
-0,08 |
2,15 |
0,11 |
0,16 |
-0,28 |
-0,06 |
-0,83 |
0,08 |
-0,15 |
0 |
0,12 |
1,16 |
-0,21 |
0,13 |
-0,27 |
0 |
0,44 |
Перевіримо виконання умови збіжності ітераційного процесу. Знайдемо всі три норми матриці α.
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
Σ рядки |
|
0,32 |
-0,05 |
0,11 |
-0,08 |
0,56 |
|
0,11 |
0,16 |
-0,28 |
-0,06 |
0,61 |
|
0,08 |
-0,15 |
0 |
0,12 |
0,35 |
|
-0,21 |
0,13 |
-0,27 |
0 |
0,61 |
Σ стовпці |
0,72 |
0,49 |
0,66 |
0,26 |
0,4203 |
|
|
|
|
|
|
|
І норма= |
0,61 |
< 1 |
|
|
|
ІІ норма= |
0,72 |
< 1 |
|
|
|
ІІІ норма= |
0,648305 |
< 1 |
|
|
Умова збіжності виконується, ітераційний процес буде збіжний.
Задамося початковим наближенням розвязку:
Крок 0 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
2,15 |
-0,83 |
1,16 |
0,44 |
Щоб знайти перше наближення, підставимо початкове в праву частину нашої системи, обчислюємо точність розрахунків.
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
β |
|
X |
ε |
x1= |
0,32 |
-0,05 |
0,11 |
-0,08 |
2,15 |
= |
2,9719 |
0,8219 |
x2= |
0,11 |
0,16 |
-0,28 |
-0,06 |
-0,83 |
= |
-1,0775 |
0,2475 |
x3= |
0,08 |
-0,15 |
0 |
0,12 |
1,16 |
= |
1,5093 |
0,3493 |
x4= |
-0,21 |
0,13 |
-0,27 |
0 |
0,44 |
= |
-0,4326 |
0,8726 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Крок 1 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
|
|
|
2,9719 |
-1,0775 |
1,5093 |
-0,4326 |
|
|
|
|
І ще зробимо один крок:
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
β |
|
X |
ε |
x1= |
0,32 |
-0,05 |
0,11 |
-0,08 |
2,15 |
= |
3,355514 |
0,383614 |
x2= |
0,11 |
0,16 |
-0,28 |
-0,06 |
-0,83 |
= |
-1,07214 |
0,005361 |
x3= |
0,08 |
-0,15 |
0 |
0,12 |
1,16 |
= |
1,507465 |
0,001835 |
x4= |
-0,21 |
0,13 |
-0,27 |
0 |
0,44 |
= |
-0,73169 |
0,299085 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Крок 2 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
|
|
|
3,355514 |
-1,07214 |
1,507465 |
-0,73169 |
|
|
|
|