2.7.3. Моменты высших порядков

Другие характеристики дискретной случайной величины X определяются следующими соотношениями (см. также раздел 2.4):

а) начальный момент k-го порядка (см. формулу (2.6)): .

В частности, , .

б) центральный момент k-го порядка (см. формулу (2.7)):

.

В частности, , , .

в) Мода дискретной случайной величины X равна ее значению, которое величина принимает с наибольшей вероятностью. Мода обозначается через , т.е. .

2.8. Основные виды распределений дискретных случайных величин

В данном параграфе описываются важные и наиболее распространенные в приложениях дискретные случайные величины с биномиальным законом рас­пределения, законом распределения Пуассона, геометрическим и гипергеометрическим законами распределения.

2.8.1. Биномиальное распределение

Определение 2.16. Дискретная случайная величина X имеет биномиальное распределение (или распределена по биномиальному закону), если она принимает конечное число значений 0, 1, …, п с вероятностями, соответствующими формуле:

, , (2.20)

где р – некоторое число ( ), . Биномиальный закон определяется двумя параметрами п и р.

Теорема 2.1. Математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения вычисляются по следующим формулам:

, . (2.21)

Условия возникновения биномиального распределения

Проводится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью . Случайная величина Х – число испытаний, в которых произошло событие А (см. теорему о повторении опытов и формулу Бернулли).

Пример 2.9. Монета брошена 3 раза. Случайная величина X – число выпадений «орла». Написать закон распределения X и вычислить , .

Решение. В данном случае испытанием является бросание монеты, событием А – «выпадение орла». Вероятность выпадения «орла» при одном бросании монеты равно . Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3 (ни разу не выпал «орел», один раз выпал «орел», два раза выпал «орел», все три раза выпал «орел»). Так как , и , то вероятности возможных значений находим, используя формулу (2.20):

, ,

, .

Следовательно, искомый закон распределения X имеет вид

X	0	1	2	3
P	1/8	3/8	3/8	1/8

Проверка: .

Используя формулы (2.21), найдем математическое ожидание , и дисперсию .

Пример 2.10. Случайная величина Х имеет биномиальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией . Найти вероятность события .

Решение. Используя формулы (2.21), получаем

Искомую вероятность события находим с помощью формулы Бернулли:

.

Ответ: 0,4752.

2.8.2. Распределение Пуассона

Определение 2.17. Дискретная случайная величина X имеет распределение Пуассона, если она принимает счетное число значений 0, 1, 2,…, со следующими вероятностями:

, , (2.22)

где λ – параметр распределения (λ > 0).

Теорема 2.2. Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона с параметром λ вычисляются по следующим формулам:

, . (2.23)

Эта особенность изучаемого распределения используется на практике следующим образом. Если оценки для математического ожидания и дисперсии, найденные на основе опытных данных, близки между собой, то есть основание считать, что случайная величина распределена по закону Пуассона.