Свойства функции распределения

1. – ограничена, т.е. .

2. – неубывающая функция, т.е. , если .

3. .

4. .

5. Вероятность попадания случайной величины Х в промежуток равна

. (2.3)

6. .

2.4. Числовые характеристики случайной величины

Закон распределения случайной величины полностью ее описывает с вероятностной точки зрения. Однако при решении многих практических задачах достаточно указать только некоторые числовые параметры, характеризующие существенные свойства распределения. Такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины. Важнейшими среди них являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода и медиана.

Определение 2.7. Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины. Оно может быть использовано вместо случайной величины в приближенных вычислениях. Математическое ожидание обозначается через (или , , ). Свойства и примеры вычисления математического ожидания см. в разделах 2.7 и 2.9.

Определение 2.8. Дисперсия случайной величины – это математическое ожидание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания. Дисперсия обозначается через (или , ). Таким образом,

. (2.4)

Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины, поэтому в сравнительных целях не совсем удобна. Поэтому используют еще одну числовую характеристику – среднее квадратическое отклонение.

Определение 2.9. Среднее квадратическое отклонение случайной величины X характеризует ширину диапазона значений X и равно:

. (2.5)

Размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерностью случайной величины.

Математическое ожидание и дисперсия – наиболее часто используемые характеристики случайной величины и отражают наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности значений. Для более подробного описания используются начальные и центральные моменты высших порядков.

Определение 2.10. Начальным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание k-й степени этой случайной величины:

. (2.6)

В частности, – математическое ожидание случайной величины X.

Определение 2.11. Центральным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание величины :

. (2.7)

В частности, – дисперсия случайной величины X.

Кроме того, на практике часто применяются и другие характеристики положения распределения значений.

Определение 2.12. Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.

Распределение с одним максимумом называется унимодальным. Если распределение имеет более одного максимума, распределение называется полимодальным.

Определение 2.13. Медианой случайной величины X называется такое ее значение , для которого выполняется условие .

С помощью функции распределения это условие можно записать в виде . Следовательно, . Медиана, как правило, существует только для непрерывных случайных величин. В случае симметричного распределения случайной величины мода и медиана совпадают с ее математическим ожиданием.

Формулы вычисления числовых характеристик, их свойства и примеры см. ниже в разделах 2.7 и 2.9.