Свойства ковариации

1. .

2. , .

3. Если случайные величины X и Y независимы, то .

4. , где – произвольное число.

Из свойства 3 следует, что если , то случайные величины X и Y зависимы. Однако из условия не следует независимость случайных величин X и Y.

Определение 2.30. Если , то случайные величины X и Y называются некоррелированными. В противном случае (т.е. в случае ) они называются коррелированными.

Определение 2.31. Коэффициент корреляции случайных величин X и Y вычисляется по формуле

, (2.66)

где , , и определяет степень линейной зависимости этих случайных величин.

Свойства коэффициента корреляции

1. .

2. .

3. Если случайные величины X и Y независимы, то .

4. X и Y – линейно зависимы, т.е. , где a и b – некоторые постоянные числа, причем при , и при .

Пример 2.28. Для случайных величин X и Y, заданных в примере 2.23, найти коэффициент корреляции .

Решение. Пользуясь таблицей распределения системы , находим законы распределения величин X и Y (см. пример 2.23):

X	0	1
P	0,6	0,4

Y	– 1	0	1
P	0,35	0,5	0,15

Находим , , , , , :

;

;

;

.

Находим , используя формулу (2.63) и таблицу распределения системы из примера 2.23:

Следовательно, (см. формулу (2.62)) находим ковариацию случайных величин X и Y:

Наконец, находим коэффициент корреляции (см. формулу (2.66)):

.

Заметим, что так как , то случайные величины X и Y зависимы, что было уже доказано в примере 2.26.

2.12. Задания для самостоятельной работы Вариант 1

1. Задано распределение вероятностей для числа очков X и Y, выбиваемых каждым из двух стрелков:

			X			1			2			3
			P			0,1			0,3			0,6

Y	1	2	3
P	0,2	0,3	0,5

Требуется: а) построить полигон распределения для каждой величины; б) вычислить и построить график функции распределения; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; г) найти распределение вероятностей для суммы и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. Случайная величина X принимает три значения 1, 2 и 3. Найти вероятности этих значений, если и .

3. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины X – число поражений цели при четырех выстрелах и вычислить ее математическое ожидание и дисперсию.

4. Из урны, содержащей 3 белых и 2 чёрных шара, переложили 2, взя­тых наугад, шара в урну, содержащую 4 белых и 4 чёрных шара. Найти ряд распределения случайной величины – количества белых шаров во второй урне. Найти функцию распределения и построить её график. Вычислить математическое ожидание и дисперсию.

5. Задана плот­ность распределения . Требуется: а) найти значение a; б) найти функцию распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание, дисперсию и медиану; д) вычислить вероятность того, что принадлежит интервалу .

6. Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , при этом , . Требуется: а) найти пределы распределения a и b; б) составить дифференциальную и интегральную функции этого распределения и построить их графики; в) найти вероятность события .

7. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины , соответственно, равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение из промежутка .

8. Двумерная случайная величина задана плотностью распределения . Найти а) величину параметра ; б) функцию распределения ; в) плотность распределения каждой компоненты; г) . Являются ли величины X и Y зависимыми?