2.11.4. Зависимость случайных величин
В этом параграфе мы еще раз (см. раздел 2.2) обсудим понятие независимости случайных величин.
Определение 2.28. Случайные величины X и Y называются независимыми, если независимыми являются события и для любых действительных .
Теорема.
Случайные величины X
и Y
независимы
функция распределения системы
равна произведению функций распределения
составляющих:
для
любых
.
(2.59)
Следствие 1. Непрерывные случайные величины X и Y независимы
.
(2.60)
Следствие 2. Дискретные случайные величины X и Y независимы
для всех i, j. (2.61)
Пример 2.26. Являются ли зависимыми случайные величины X и Y, рассмотренные в примерах 2.23 и 2.25 ?
Решение.
а) По заданной в примере 2.23 таблице
распределения
мы видим, что
.
С другой стороны, (см. построенные в
примере 2.23 законы распределения X
и Y),
и
.
Следовательно,
,
и условие (2.61) нарушается. Поэтому
случайные величины X
и Y
зависимы.
б)
В примере 2.25 (пункт (д)) мы нашли плотности
распределения величин X
и Y:
,
.
С другой стороны, по условию задачи
2.25:
(так как
,
см. пункт (а) в примере 2.25).
Следовательно,
,
т.е. выполнено условие (2.60). Поэтому
случайные
величины X
и Y
независимы.
Пример 2.27. В урне находятся 6 шаров: 1 белый, 2 черных и 3 синих. Из урны наугад извлекают 2 шара. Пусть случайная величина X – число белых шаров, Y – число черных шаров среди извлеченных. Составить: а) закон распределения для системы ; б) законы распределения случайных величин X и Y. Являются ли зависимыми случайные величины X и Y?
Решение.
а) Возможные значения случайной величины
X:
,
;
возможные значения величины Y:
,
,
.
Вычислим соответствующие вероятности
системы
:
,
,
,
,
.
Событие
– невозможное, поскольку извлекаются
только 2 шара. Поэтому
.
Таблица распределения системы
имеет вид
|
0 |
1 |
2 |
0 |
1/5 |
2/5 |
1/15 |
1 |
1/5 |
2/15 |
0 |
.
б) Вычислим вероятности возможных значений величины X, складывая вероятности по строкам таблицы:
,
.
Вычислим вероятности возможных значений величины Y, складывая вероятности по столбцам таблицы:
,
,
.
Поэтому законы распределения величин X и Y имеют вид
X |
0 |
1 |
P |
2/3 |
1/3 |
.
Y |
0 |
1 |
2 |
P |
2/5 |
8/15 |
1/15 |
.
Заметим,
что
,
так как
.
Поэтому случайные
величины X
и Y
зависимы.
2.11.5. Ковариация и коэффициент корреляции
Рассмотрим случайную величину (произведение случайных величин).
Определение 2.29. Корреляционным моментом (или моментом связи или ковариацией) называется число, определяемое по формуле
.
Часто ковариацию удобно вычислять по формуле
.
(2.62)
Для дискретных случайных величин X и Y:
,
где
,
(2.63)
,
(2.64)
.
(2.65)
Для непрерывных случайных величин X и Y:
,
где
– плотность распределения
,
,
.