2.10.3. Нормальное распределение

Определение 2.23. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое задается плотностью

, . (2.45)

Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами a  и ( ).

 Если и , то нормальное распределение называется стандартным (или нормированным).

Теорема. Для нормального распределения математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение равны

          , , . (2.46)

В силу формул (2.31) и (2.45), функция распределения нормального распределенной случайной величины имеет вид

, ,

где, по определению,

– (2.47)

интегральная функция Лапласа. Значения находятся по таблице (см. Приложение 2). Заметим, что – нечетная функция, т.е.

. (2.48)

Ниже приведены графики плотности и функции нормального распределения:

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (или кривой Гаусса).

Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины X есть

,

где – функция Лапласа (см. формулу (2.47)). В частности,

(2.49)

в силу формулы (2.48). Положим . Тогда

,

т.е. отклонение случайной величины X от своего математического ожидания меньше, чем на , является почти достоверным событием. Это утверждение называется «правилом трех сигм».

Пример 2.22. Производится измерение диаметра вала без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 15 мм.

Решение. По условию, математическое ожидание ошибок . Поэтому, применяя формулу (2.49) с , и , получаем

.

Ответ: 0,8664.

Нормальный закон играет важную роль в теории вероятностей. Главная особенность закона Гаусса состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются при определенных условиях другие законы распределения. Нормальный закон – это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Например, нормальный закон распределения имеют погрешности измерительных приборов, параметры резисторов, ошибки стрельбы, колебания курса акций и т.п.

2.11. Совместное распределение двух случайных величин

При изучении случайных явлений часто приходится иметь дело с двумя, тремя и большим числом случайных величин.

Определение 2.24. Упорядоченная пара двух случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной или системой двух одномерных случайных величин X и Y.

2.11.1. Двумерный закон распределения

Пусть X и Y - дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины можно задать формулой

, , ,

или в виде таблицы (так называемой матрицей распределения)

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

причем

Зная закон распределения двумерной случайной величины , можно найти законы распределения каждой из компонент X и Y следующим образом

, . (2.50)

Пример 2.23. Закон распределения двумерной случайной величины задан таблицей

	– 1	0	1
0	0,15	0,4	0,05
1	0,2	0,1	0,1

Найти: а) законы распределения X и Y; б) вероятность .

Решение. а) Применяя формулу (2.50), получаем

,

X	0	1
P	0,6	0,4

(мы складываем вероятности значений случайной величины X в каждой строке). Следовательно, закон распределения X:

Аналогично, складывая вероятности возможных значений величины Y по столбцам, найдем

, , .

Поэтому закон распределения Y имеет вид:

Y	– 1	0	1
P	0,35	0,5	0,15

б) Теперь вычислим вероятность события :