Лекций №6. Общие ренты
1. Сведение общей ренты к простой
Особое внимание, уделяемое рентам, связано с широким применением их в финансовой практике. Формально для вычисления параметров произвольного потока платежей и, в частности, ренты достаточно уметь составлять уравнение эквивалентности для заданного момента времени. Однако для произвольного ряда выплат эта задача может оказаться очень трудоемкой, в то время как для простой ренты уравнение эквивалентности сводится к формуле геометрической прогрессии. Для вычисления параметров общей ренты наиболее естественным представляется преобразование ее в эквивалентную простую ренту.
Пусть W - величина выплат общей обычной ренты,
p - число выплат общей ренты в году,
i - процентная ставка за период начисления,
m - число периодов начисления в году,
R - величина выплат простой ренты, эквивалентной исходной общей ренте (см. временную диаграмму на рис. 1).
Рис. 1.
Напомним, что период выплат и период начислений для простой ренты совпадают.
Для того, чтобы данные ренты были эквивалентны, необходимо выполнение следующих двух условий:
процентные ставки за периоды этих рент должны быть эквивалентны;
эквивалентные этим рентам значения, соответствующие одному и тому же моменту времени, должны совпадать.
Пусть j - процентная ставка, соответствующая периоду общей ренты. Тогда из определения эквивалентности процентных ставок и условия 1) имеем
(1)
Приравнивая наращенные за год значения обеих рент, получим
или более подробно
(2)
Отсюда, учитывая (1), вытекает
(3)
Решая (1) относительно j и подставляя в (3), получим формулу для выплат простой ренты
(4)
Пример.
Заменить обычную ренту сроком два года с выплатами по 140 тысяч рублей в конце каждого полугодия и начислением процентов по кварталам по ставке 10% годовых простой рентой с поквартальными выплатами.
Решение.
Временная диаграмма выплат приведена на рис. 2.
Рис. 2.
Здесь
W = 140 тыс. руб., p = 2, m=4, i = 0,025.
Используя формулу (4), получим
ЗАДАЧИ
1. Заменить обычную ренту сроком 5 лет с выплатами по 300 тысяч рублей в конце каждого года и начислением процентов по ставке 10% годовых простой рентой с выплатами по полугодиям.
2. Заменить обычную ренту с выплатами по 50 тысяч рублей в конце месяца и начислением процентов по кварталам по ставке 6% годовых простой рентой с поквартальными выплатами.
2. Текущее и наращенное значение обычной общей ренты
Для вычисления текущего (наращенного) значения обычной ренты нужно сначала преобразовать ее в эквивалентную простую ренту, а затем найти текущее (наращенное) значение полученной простой ренты. То есть формула для текущего значения общей обычной ренты получается при подстановке выражения (6.4) в формулу (5.4) текущего значения простой обычной ренты, т.е.
(5)
где А - текущее значение общей ренты,
W - величина выплат общей обычной ренты,
р - число выплат общей ренты в году,
i - процентная ставка за период начисления,
m - число периодов начисления в году,
n - срок ренты в периодах начисления процентов.
Пример.
Найти текущее значение обычной ренты с выплатами по 60 тысяч рублей в конце каждого квартала при ежемесячном начислении процентов по ставке 10% годовых. Срок ренты - 1,5 года.
Решение.
Временная диаграмма выплат приведена на рис. 3.
Рис. 3.
Здесь
W = 60 тыс. руб., р = 4, т = 12, i = 0,01, n = 18.
Используя формулу (5), получим
Аналогично формула для наращенного значения S общей обычной ренты получается подстановкой выражения (6.4) в формулу (5.1), т.е.
(6)
Пример.
Найти наращенное значение обычной ренты с выплатами по 95 тысяч рублей в конце каждого года при поквартальном начислении процентов по ставке 8% годовых. Срок ренты - 3 года.
Решение.
Временная диаграмма выплат приведена на рис. 4.
Рис. 4.
Здесь
W=95 тыс. руб., р = 1, m = 4, i = 0,08, n = 12.
Используя формулу (6), получим
ЗАДАЧИ
1. Найти текущее и наращенное значение обычной ренты с выплатами по 110 тысяч рублей в конце каждого полугодия при начислении процентов по ставке 5% в конце каждого года. Срок ренты - 4 года.
2. Найти текущее и наращенное значение обычной ренты с выплатами по 80 тысяч рублей в конце каждого полугодия при поквартальном начислении процентов по ставке 10% годовых. Срок ренты - 3 года.