2.4 Экономико-математическое моделирование

Важным направлением в исследовании закономерностей социально – экономических процессов является изучение общей тенденции развития. Прогнозирование – это метод, в котором используются накопленный в прошлом опыт и текущие допущения на счет будущего в целях его определения. Если прогнозирование выполнено качественно, то результатом станет картина будущего, которую можно использовать как результат планирования.

Существует много методов прогнозирования, среди которых можно выделить метод анализа временных рядов. Он основан на допущении, согласно которому случившееся в прошлом дает достаточно хорошее приближение в оценке будущего.

Изменение уровней рядов динамики обусловливаются влиянием на изучаемое явление ряда факторов, которые неоднородны по силе, направлению и времени их действия. Постоянно действующие факторы оказывают на изучаемые явления определяющее влияние и формируют в рядах динамики основную тенденцию развития (тренд). Воздействие других факторов проявляется периодически.

Различные результаты действия постоянных, периодических и разовых причин и факторов на уровни развития социально-экономических явлений во времени обусловливают необходимость изучения основных компонентов ряда динамики: тренда, периодических колебаний, случайных отклонений.

Особенностью изучения развития социально - экономических процессов во времени является то, что в одних рядах динамики основная тенденция роста проявляется при визуальном обзоре исходной информации, в других рядах ди­намики общая тенденция развития непосредственно не проявляется. Она может быть выражена расчетным путем в виде некоторого теоретического уровня.

При изучении в рядах динамики основной тенденции развития (тренда) решаются две взаимосвязанные задачи:

- выявление в изучаемом явлении наличия тренда с описанием его качественных особенностей;

- измерение выявленного тренда, т. е. получение обобщающей количественной оценки основной тенденции развития.

На практике наиболее распространенными методами статистического изучения тренда являются:

• укрупнение интервалов;

• сглаживание скользящей средней;

• аналитическое выравнивание.

Метод укрупнения интервалов применяется для выявления тренда в рядах динамики колеблющихся уровней, затушевывающих основную тенденцию развития. Главное в этом методе заключается в преобразовании первоначального ряда динамики в ряды более продолжительных периодов.

Для статистического изучения тренда применяется сглаживание методом скользящей средней. В основу этого метода положено определение по исходным данным теоретических уровней, в которых случайные колебания погашаются, а основная тенденция развития выражается в виде плановой линии.

Применение в анализе рядов динамики методов укрупнения интервалов и скользящей средней позволяет выявить тренд для его описания, но получать обобщенную статистическую оценку тренда посредством этих методов невозможно. Решение задачи - измерения тренда - достигается методом аналитического выравнивания.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что основная тенденция развития Yt рассчитывается как функция времени:

Y = f(t) (1)

Определение теоретических уровней Y(t) производится на основе адекватной математической функции, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию ряда динамики.

Важнейшей проблемой при применении метода аналитического выравнивания является подбор математической функции, по которой рассчитываются теоретические уровни тренда. От правильности решения этой проблемы зависят выводы о закономерностях тренда изучаемых явлений. На практике статистического изучения тренда различают следующие типы развития социально - экономических явлений во времени:

- равномерное развитие. Для этого типа динамики присущи постоянные абсолютные приросты. Основная тенденция развития в рядах динамики со стабильными абсолютными приростами отображается уравнением прямолинейной функции:

Y(t) = а + bt, (2)

где а и b – параметры уравнения; t - обозначение времени.

- равноускоренное (равнозамедленное) развитие. Этому типу динамики свойственно постоянное во времени увеличение (замедление) развития. Уровни таких рядов динамики изменяются с постоянными темпами прироста

Основная тенденция развития в рядах динамики со стабильными темпами прироста отображается функцией параболы второго порядка:

Y(t) = а + bt + сt² (3)

Значение параметров а и b идентичны параметрам, используемым в предыдущей функции. Параметр характеризует постоянное изменение интенсивности развития (в единицу времени).

- развитие с переменным ускорением. Для этого типа динамики основная тенденция развития выражается функцией параболы третьего порядка:

Yt=a+bt+ct²+dt³ (4)

В данном уравнении параметр d отображает изменение ускорения.

- развитие по экспоненте:

Y(t) = ab^t, (5)

где а - темп роста (снижения) изучаемого явления в единицу времени, то есть интенсивность развития.

- развитие с замедлением роста в конце периода.

Основная тенденция развития в таких рядах динамики выражается логарифмической функцией:

Y(t) = а + b lg(t) (6)

При аналитическом выравнивании в рядах динамики можно применить и другие математические функции.

На практике целесообразно выбор функции осуществлять либо на основе анализа аналитических показателей ряда динамики, либо методом перебора ряда функций и выбора той, которой соответствует наименьшая ошибка аппроксимации.

Рассмотрим объем выручки, численности персонала и фонд оплаты труда на ЗАО «РОМАНА » за период с 01.01.11 г. по 01.02.12 г. Проанализируем динамику и определим перспективные значения этих показателей.

Таблица 17 – Показатели выручки, численности и фонда оплаты труда

Месяцы	Выручка, тыс. руб.	Численность персонала, чел.	Фонд оплаты труда тыс. руб.
Январь 2011 г.	311066	113	3867,8
Февраль 2011 г.	311123	112	4236,7
Март 2011г.	326789	112	4256,7
Апрель 2011 г.	328908	113	4678,3
Май 2011г.	334567	113	5678,4
Июнь 2011г.	345678	114	5689,9
Июль 2011 г.	347890	115	5732,4
Август 2011 г.	357896	116	5863,8
Сентябрь 2011 г.	358960	116	5978,2
Октябрь 2011 г.	358978	116	5984,6
Ноябрь 2011 г.	359754	117	6025,6
Декабрь 2011 г.	361789	118	6123,6
Январь 2012г.	362965	118	6220,6

Построим график динамики уровня ряда (для начала рассмотрим объем выручки). По виду графика принимается гипотеза, что модель описывается линейной зависимостью:

Y(t)=a+b (7)

Для расчёта параметров модели (a и b) используем метод наименьших квадратов (МНК). Согласно этому методу они находятся по следующим формулам:

(8)

где – средние значения, здесь – фактические уровни ряда, n – число членов ряда, t – показатель времени.

Степень тесноты связи между переменными показывает коэффициент корреляции:

(9)

чем ближе к единице, тем теснее связь и если то гипотеза о линейности модели верна.

Далее проверим адекватность построенной модели, т. е. оценим его практическую значимость. Для этого воспользуемся F – критерием Фишера – Стендокера. Согласно этому критерию уравнение регрессии значимо на уровне значимости a, если фактически наблюдаемое значение статистики:

, (10)

где – табличное значение;

F – критерия Фишера – Стендокера.

– сумма квадратов обусловленная регрессией.

– остаточная сумма квадратов.

( – выровненные (теоретические) значения т. е. значения полученные из уравнения регрессии при тех же t).

– общая сумма квадратов.

₍₁₁₎

Так же значимость уравнения парной линейной регрессии можно показать, значимость коэффициента регрессии b по t – критерию Стьюдента: коэффициент b значим на уровне значимости a, если фактически наблюдаемое значение статистики:

, (12)

_где – табличное значение t – критерия Стьюдента,

– остаточная выборочная дисперсия.

Прогнозное значение определяется на основе экстраполяции линейной зависимости путем подстановки нового показателя времени в уравнение регрессии .

Доверительный интервал прогноза находится по формуле:

₍₁₃₎

где – средняя квадратичная ошибка прогноза.

Вычисления производятся при помощи табличного редактора Excel, все исходные и расчетные данные представлены в таблице.

Таблица 18 – Исходные данные для построения уравнения регрессии

Месяцы	t	Y	t^2	Y*t	Y^2	(t-tср)^2	Yт	(Yт-Y)^2
Январь 2011 г.	1	311066	1	311066	96762056	36	315615,6	20698860
Февраль 2011 г.	2	311123	4	622246	96864112	25	320274	83740801
Март 2011г.	3	326789	9	980367	1067 9105	16	324932,4	3446963
Апрель 2011г.	4	328908	16	1315632	10818047	9	32959,8	466215,8
Май 2011 г.	5	334567	25	1672835	11 193507	4	334249,2	100996,84
Июнь 2011г.	6	345678	36	2074068	11 949327	1	338907,6	45838316
Июль 2011 г.	7	347890	49	2435230	12102745	0	343566	2808976
Август 2011 г.	8	357896	64	2863168	12808954	1	348224,4	93539846
Сентябрь 2011 г.	9	358960	81	3230640	12885228	4	352882,8	36932359
Октябрь 2011 г.	10	358978	100	3589780	12886520	9	357541,2	2064394,2
Ноябрь 2011 г.	11	359754	121	3957294	12942294	16	362199,6	5980959,3
Декабрь 2011г.	12	361789	144	4341468	13 089128	25	366858	25694761
Январь 2012 г.	13	362965	169	4718545	13174359	36	371516,4	7312644,1
Сумма	91	4466363	819	32 112339	29377299	182	4131998	80257929
Среднее	7	343566	63	2470179,9	2259792,2	14	317846	6173686

Пользуясь данными расчетной таблицы и вышеизложенными формулами, получаем a=310 957,2 b=4658,4.

Отсюда искомое уравнение тренда:

Y(t) =310 957,2 + 4658,4·t,

которое в частности показывает, что с каждым месяцем объем выручки в среднем растет на 4658,4тыс. руб.

Подставляя в это уравнение значения t находим выровненные (теоретические) значения Y. На рисунке 11 изображены графики фактических и выровненных значений. Рассчитаем прогноз по полученному уравнению на февраль 2011 г.

Коэффициент корреляции:

r = 0,94 > 0.7 т. е. связь между переменными сильная и гипотеза о линейности модели верна.

Значимость по F – критерию Фишера – Стендокера:

Q_e = 80257929

Q =29377299 - (29377299 / 13) = 29377299 – 2259792 = 27117507

Q_R = Q - Q_e = 27117507-80257929 = 19059578

F = 19059578 * 11 / 80257929 = 2,6 F_0.05;1;11 = 3,4.

И т. к. F > F_0.05;1;11 то построенное нами уравнение надежно, т. е. пригодно для практического применения.

Значимость коэффициента регрессии b по t – критерию Стьюдента:

t = 8,7 t_0.95;13 = 3,6

И т. к. t > t_0.95;13 то коэффициент регрессии b значим на уровне

a= 0,05 т.е. и само уравнение значимо.

Прогнозное значение :

_{Yпр =310957,2 + 4658,4 * 14 = 4418618,4}

т. е. в феврале 2012 года выручка предприятия будет составлять в среднем 4418618,4 руб.

Доверительный интервал прогноза:

_{397866,5 < Yпр < 4534676,8}

т. е. с вероятность 95% выручка предприятия в феврале 2012 г. будет лежать в интервале от 397866,5. до 4534676,8 руб.

Рисунок 11 – Динамика выручки от продажи

Таблица 19 – Расчетные данные для показателя численности персонала

Периоды	t	Y	t^2	Y*t	Y^2	(t-tср)^2	Yт	(Yт-Y)^2
1 кв. 2011	1	113	1	113	140182	36	41275,516	14703516,66
2 кв. 2011	2	112	4	224	222538	25	44465,225	7337460,512
3 кв. 2011	3	112	9	336	407784	16	47654,934	262539345,7
4 кв. 2011	4	113	16	452	225378	9	50844,643	11361233,27
1 кв. 2011	5	113	25	565	165559	4	54034,352	178098410,6
2 кв. 2011	6	114	36	684	312313	1	57224,06	1793082,861
3 кв. 2011	7	115	49	805	398337	0	60413,769	7291246,207
4 кв. 2011	8	116	64	928	425364	1	63603,478	2613143,305
1 кв. 2011	9	116	81	1044	330797	4	66793,187	86084750,54
2 кв. 2011	10	116	100	1160	379653	9	69982,896	70004942,05
3 кв. 2011	11	117	121	1287	768164	16	73172,604	209450234,5
4 кв. 2011	12	118	144	1416	739703	25	76362,313	93000695,35
1 кв. 2012	13	118	169	1534	514691	36	79552,022	60996443,3
Сумма	91	785379	819	57790	5030469	182	785379	1005274505
Среднее	7	60413,76	63	444544	3869591	14	60413,769	77328808,07

Проведя аналогичные вычисления для значений численности персонала, получаем следующее значимое (r = 0,89) уравнение тренда:

Y(t) = 107,7+ 0,89t, исходя из которого можно сказать, что на предприятии в 2012 г. среднемесячная численность персонала составит в среднем _{Yпр =107,7 +0,89*14=120,1 чел.}

Доверительный интервал прогноза: 109,89 < Y_пр < 125,78 т. е. с вероятностью 95 % можно сказать, что на предприятии в 2012 году численность персонала будет лежать в интервале от 111 человек до 126 человек.

Рисунок 12 – Динамика среднесписочной численности персонала на предприятии

Далее проанализируем следующий показатель фонд оплаты труда.

Аналогичными методами можно показать, что данное уравнение значимо, следовательно, составленный на его основе прогноз будет верен.

Во втором квартале 2012 г. фонд оплаты труда в среднем будет находиться на уровне Y_пр= 358,8 *1,19 ·t = 1235,52 тыс. руб.

_{Доверительный интервал прогноза: 11567,98 <} Y_пр < 13675,0, т. е. с вероятностью 95 % можно сказать, что фонд оплаты труда предприятия в 2012 г. будет лежать в интервале от 11567,98 тыс. руб. до 13675,0 тыс. руб.

Таблица 20 – Исходные данные по фонду оплаты труда для построения уравнения регрессии

Периоды	t	Y	ln Y	t^2	ln(Y)*t	(t-tср)^2	Yт	(Yт-Y)^2
1 кв. 2011	1	3867,8	5,9651	1	5,965120572	36	384,54932	25,50940055
2 кв. 2011	2	4236,67	6,0288	4	24,11533033	25	418,21258	8,895771021
3 кв. 2011	3	4256,7	6,0315	9	54,28373627	16	454,8227	1480,148999
4 кв. 2011	4	4678,3	6,2591	16	100,1453473	9	494,63766	789,7412864
1 кв. 2011	5	5678,4	6,2808	25	157,0206614	4	537,93801	13,74930678
2 кв. 2011	6	5689,9	6,2965	36	226,6727236	1	585,02884	1795,965949
3 кв. 2011	7	5732,4	6,5793	49	322,3833094	0	636,24198	7015,405939
4 кв. 2011	8	5863,8	6,5958	64	422,1299529	1	691,93829	1604,940219
1 кв. 2011	9	5978,2	6,639	81	537,755791	4	752,51024	138,9984804
2 кв. 2011	10	5984,6	6,6876	100	668,7607237	9	818,38462	255,5080896
3 кв. 2011	11	6025,6	6,7527	121	817,0812444	16	890,02561	1130,681918
4 кв. 2011	12	6123,6	6,8161	144	981,5153026	25	967,93803	3084,472281
1 кв. 2012	13	6220,6	6,9903	169	1181,353349	36	1052,6709	1110,832115
Сумма	91	70336,6	83,923	819	5499,182592	182	8684,8987	18454,84976
Среднее	7	5410,5	6,4556	63	423,0140455	14	668,06913	1419,603827

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Рисунок 13 – Показатели фонда оплаты труда на предприятии

По результатам экономико-математического моделирования можно сделать вывод, что финансовое состояние предприятия находиться в нестабильном положении.

Итак, наиболее эффективно ЗАО «РОМАНА» работало в 2009-2010 гг., а 2011 г. наблюдаются слишком низкие показатели.