Элементы экономико-математического моделирования - Давнис В.В., Щепина И.Н., Мокшина С.И., Воищева О.С., Щекунских С.С
..pdf
Элем ен ты ЭМ М
О п редели т ьм ак си м альн ы й в ы п у ск X* дв у м я сп особам и : п о
за даче н а м ак |
си м у м п ри бы ли и п о задаче н а м ак си м у м в ы п у ск а |
п ри задан н ом |
объ ем е и здержек . |
Реш ен и е п рои ллюст ри ров ат ьг раф и ческ и , п ост рои в и зок осты
(ли н и и |
п остоян н ы х и здерж ек ) для С=50,100,150 и и зок в а н ты |
(ли н и и |
п остоян н ы х в ы п у ск ов ) для Х =25.2; X* . |
О п редели т ьп редельн у ю н орм у за мен ы одн ог о зан ят ог о ф он дам и в оп ти м альн ой т очк е.
Порядок в ы п олн ен и я задан и я.
1. О п редели м оп т и м альн ы й в ы п у ск п роду к ц и и п о задаче н а м ак си м у м в ы п у ск а (см . (6) ):
1.1. Т .к . F(0, L)=F(K, 0)=0, то в оп т и м альн ом реш ен и и
* > |
* > . 0СледовK L,а0тельн о, у слов и я (7) п ри н и м ают |
в и д: |
|
∂F = λWK , ∂K
∂∂LF = λWL
1.2. Подстав и м в (8) в и д п рои зв одст в ен н ой ф у н к ц и и
= |
3/ 1 |
23/ |
|
; |
|
L K3 ) L, FK( |
|
|
|
п олу чи м: |
|
L 13/
2 K 13/ = λWK ,
K 23/
L 23/ = λWL
1.3. Подели м в (9) 1-ое у рав н ен и е н а 2-ое:
(8)
(9)
2KL = WL ,
т.е. 2KL = 105 = 12 ,WK
и ли K=4L |
(10) |
41
Элем ен ты ЭМ М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4. Подста в и в |
(10) в у слов и е |
K |
* + |
L |
* = |
, 150 |
L WW K |
|
|
н аходи м : |
*L= |
; 5K* = 20. |
|
|
|
|
|
|
|
Следов ательн о, |
* = X 8, |
37 |
|
|
|
|
|
|
2. |
О п ределен и е оп ти м альн ог о в ы п у ск а п о за даче н а м ак си м у м |
|
|||||||
|
п ри бы ли п редлаг аем п ров ести сам остоятельн о. |
|
|
||||||
3. |
Прои ллюстри ру ем реш ен и е зада чи г еом етри ческ и . Д ля этог о |
|
|||||||
|
п острои м и зок осты для С=50, 100, 150 и |
и зок в ан т ы для Х =25,2; |
|
||||||
|
37,8 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1.Вв едем зн ачен и я L (н а п ри м ер, от 0 до 20) в ячейк и А1:A20;
3.2.Я чейк и В1:B20, С1:C20, D1:D20 зап олн и м зн ачен и ям и К,
рассчи тан н ы м и и зу рав н ен и я
5К +10L=C (C=50, 100, 150)
3.3. Я чейк и |
Е 1:Е 20, |
F1:F20 зап олн и м зн ачен и ям и К, |
||
рассчи тан н ы м и |
и зу рав н ен и я |
|||
3K |
L |
3/ 1 |
23/ |
|
= X (Х =25,2; 37,8) |
||||
3.4. Вы дели м блок А1:F20 и с п ом ощ ью <М астера ди аг рам м > п ост рои м и зок ост ы и и зок в ан ты , в ы бра в “точечн ы й” в ари а н т п остроен и я г раф и к ов .
Построен н ы й г раф и к долж ен и м етьв и д г ра ф и к а, и зображ ен н ог о н а ри с.
н ды |
40 |
|
|
|
|
C=50 |
фо |
|
|
|
|
|
C=100 |
д. |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C=150 |
||
изво |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
Х=25,2 |
|
про |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Х=37,8 |
||
|
|
|
|
|
||
ы е |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
осн о вн |
|
|
|
|
|
|
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
|
|
0 |
|||||
|
|
|
средн еечисло за нятых |
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
Элем ен ты ЭМ М
В оп ти м альн ой т очк е (20, 5) и зок в а н та * = X 8, и 37и зок оста С=150, п роходящ и е черезэту точк у , к асаются, п оск ольк у , сог ласн о (8), н орм а ли к эт и м к ри в ы м, задан н ы е г ради ен т ам и
(∂K |
, ∂L), |
K L ), W W, |
|
|
∂F |
∂F |
к олли н еарн ы . |
|
|
|
|
4. Ра ссчи та ем н орм у зам ен ы т ру да ф он дам и в оп ти м альн ой точк е:
SK = |
∂F |
∂L |
|
K* |
|
20 |
== |
1 |
, |
= |
∂F |
∂K |
|
2L* |
2 * 5 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т .е. оди н работа ющ и й м ож ет бы тьзам ен ен дв у м я еди н и ц ам и ф он дов .
6.3. Задачи для са м остоят ельн ог о реш ен и я.
Задача 1. Прои зв одст в ен н ая ф у н к ц и я ф и рмы и м еет следу ющ и й в и д:
|
2 |
1 |
1 2 |
2 |
, |
+x6 x+x2 x+ 24=X− x4 |
г де x x |
1 |
2 − x2 |
||||
-за траты ресу рсов . О п редели тьм ак си м альн ы й в ы п у ск и |
||||||
|
2 1, |
|
|
|
|
|
обесп ечи в а ющ и е этот в ы п у ск затра ты ресу рсов .
Задача 2. Прои зв одств ен н ая ф у н к ц и я в и да:
=1 13/x2 13/x3 13/ Xоп иx5сы в ает зав и си мостьм еж ду затра там и
ресу рсов |
x,31xиx,в2ы п у ск ом X. О п редели тьм ак си м альн ы й |
|||
в ы п у ск , если |
+ |
+ |
31 |
= 9. Какxов ы xп редельн ы е п роду к ты в |
|
|
|
2 |
|
оп ти ма льн ой точк е?
Задача 3. Прои зв одств ен н ая ф у н к ц и я ф и рм ы и меет следу ющ и й в и д:
= |
|
13/ 2 |
/ 3 |
1 |
xX x3. |
||
|
2 |
|
|
О п редели тьп редельн ы е п роду к т ы п о ресу рсам и п острои ть и зок в ан ту Х =3. Найт и н орм у зам ен ы п ерв ог о ресу рса в торы м в
точк е x1 = x2 =1.
43
Элем ен ты ЭМ М
7. М одель потреблен ия
7.1. Предп очтен и я п отреби теля и ег о ф у н к ц и я п олезн ост и .
Вв едем обозн а чен и я:
n – к он ечн ое чи сло рассма три в а ем ы х т ов аров ;
= |
1 2 |
n ) |
x ,..., |
x, x( |
|
|
- в ек тор-столбец т ов аров , п ри обретен н ы х |
||
п отреби телем за оп ределен н ы й срок п ри задан н ы х ц ен а х и доходе за тот ж е срок .
Простран ств о тов аров – эт о м н ож еств о в сев озм ож н ы х
н аборов |
тов аров х с н еот ри ц ательн ы м и к оорди н ат ам и : |
= { |
³ 0 C}.x: x |
Предп олаг ается, что к аж ды й п отреби тельи м еет св ои п редп очтен и я н а н ек отором п одм н ож ест в е п ростран ств а т ов аров
X C, т.е. для x, y X и м еет м ест о одн о и зт рех соотн ош ен и й: x f y (н аборх п редп очти тельн ее y)
x p y (н аборх м ен ее п редп очти тельн ее, чем y)
x ≈ y (оба н абора обладают оди н ак ов ой степ ен ью
предп очтен и я)
От н ош ен и я п редп очт ен и я обладают св ойств ам и :
1) |
если |
|
z |
x , z yx , y |
f |
|
(транfзи ти в н ость) |
||
2) |
если |
>x , y т о x f y |
|
(н ен а сы щ а ем ость: больш и й |
н а борв сег да п редп очти т ельн ее м ен ьш ег о)
О т н ош ен и я п редп очт ен и я п отреби теля м ож н о п редстав и т ьв
в и де ф у н к ц и и п олезн ости U(x), так ой, что и з |
|
f |
y |
следу ет |
||
|
|
x |
|
|
||
U(x)>U(y) и и з |
следу ет U(x)=U(y). Т ак ое п редстав лен и е |
|||||
x ≈ y |
|
|
|
|
|
|
м н ог ов ари ан т н о. Нап ри м ересли |
U(x)-ф у н к ц и я п олезн ости , то |
|||||
С*U(x), lnU(x) – так ж е ф у н к ц и и |
п олезн ости . |
|
|
|
|
|
Предп олаг ается, что ф у н к ц и я п олезн ост и |
обладает |
|||||
св ойств а ми : |
|
|
|
|
|
|
1)∂U > 0 - с рост ом п от реблен и я благ а п олезн ост ьра стет ; ∂xi
2) lim |
∂U |
= ∞ - н ебольш ой п ри рост благ а п ри ег о |
|
||
xi →0 |
∂xi |
|
п ерв он ачальн ом отсу тст в и и резк о у в ели чи в ает п олезн ость;
44
Элем ен ты ЭМ М
3)∂2U < 0 - с ростом п отреблен и я благ а ск орост ьроста ∂xi2
полезн ост и зам едляется;
4) lim |
|
∂U |
= 0 - п ри очен ьбольш ом объ ем е благ а ег о |
|||||
|
|
|
||||||
xi →∞ ∂xi |
|
|
|
|||||
да льн ейш ее у в ели чен и е н е п ри в оди т к у в ели чен и ю |
||||||||
п олезн ост и . |
|
|||||||
П редельн ой полезн остью товаран а зы в ает ся п редел |
||||||||
отн ош ен и я п ри ращ ен и я п олезн ости |
к в ы зв а в ш ем у этот п ри рост |
|||||||
п ри ра щ ен и ю тов ара: |
|
|||||||
lim |
|
U |
= |
∂U |
, |
(1) |
||
|
|
|
||||||
xi →0 |
xi |
∂xi |
|
|||||
Т ак и м образом , п редельн ая п олезн остьп ок а зы в ает , н а |
||||||||
ск ольк о в озра стет п олезн ост ь, если |
тов арв озра стет н а м алу ю |
|||||||
еди н и ц у . |
|
|
|
|
|
|
|
|
П оверхн остью безраз личия н а зы в ает ся г и п ерп ов ерхн ость разм ера (n-1), н а к от орой п олезн остьп ост оян н а:
U(x)=C – const,
n |
∂U |
|
|
|
и ли dU = å |
|
i = 0 |
dx |
(2) |
|
||||
i=1 |
∂xi |
|
|
|
У слов и е (2) озн а чает, что к асат ельн ая к п ов ерхн ост и |
безразли чи я |
|||
п ерп ен ди к у лярн а г ради ен ту |
п олезн ости . |
|
||
Предельн ой н ормой замен ы одн ого товарадругим
назы в ается от н ош ен и е п редельн ы х п олезн остей эти х т ов аров :
|
|
|
|
∂U |
|
|
− |
dx2 |
= |
|
∂x1 |
|
(3) |
dx1 |
|
∂U |
|
|||
|
|
|
|
|
∂x2
Норм а зам ен ы п ок а зы в ает , ск ольк о т ребу ет ся еди н и ц в торог о тов ара, чт обы зам ен и тьв ы бы в ш у ю еди н и ц у п ерв ог о тов ара.
Бю дж етн ым мн ож еством н а зы в ает ся м н ож еств о тех н аборов , к от оры е м ож ет п ри обрест и п от реби тель, и м ея доход М :
|
= { |
1 2 |
≤ M },pxB : x |
||
г де |
= |
n ) |
p ,..., |
p, p( |
|
|
|
|
- в ек тор- |
строк а ц ен . |
|
45
Элем ен ты ЭМ М
7.2. Задача п отреби т ельск ог о в ы бора
Задача рац и он альн ог о п ов еден и я п отреби т еля н а ры н к е
за к лючается в в ы боре т ак ог о п отреби тельск ог о н а бора x*,
к от оры й м ак си м и зи ру ет ег о ф у н к ц и ю п олезн ости п ри задан н ом бюдж етн ом ог ра н и чен и и .
Ф орм а льн о зада ча п отреби т ельск ог о в ы бора и м еет в и д:
U(x) → max
п ри у слов и ях:
px ≤ M |
|
(4) |
x ³ 0 |
|
|
|
|
|
Д ля реш ен и я эт ой задачи |
н а у слов н ы й эк стрем у м п ри м ен и м м ет од |
|
Л аг ра н ж а. Вы п и сы в аем ф у н к ц и ю Л аг ра н ж а: |
||
λ = |
− λ |
− ). M px ( ) x( U ) ,Lx( |
Необходи м ы е у слов и я лок а льн ог о эк стрем у м а :
n
å j *j = M p x (5) j=1
¶L |
= |
¶ |
i*) Ux(* |
pi = 0-, |
l i=1,2,… n |
(6) |
¶xi |
|
¶xi |
||||
|
|
|
|
|
И з(6) следу ет, что п отреби тельп ри ф и к си ров ан н ом доходе
так в ы би рает н абор x* , что в этой точк е от н ош ен и я п редельн ы х п олезн ост ей рав н ы отн ош ен и ям ц ен :
¶ |
*) Ux( |
|
¶ |
* ) |
Ux( |
p:n ...p : |
(7) |
|||
|
1 |
|
|
: :... |
|
n |
= 1 |
|||
|
¶x1 |
|
|
|
¶xn |
|
|
|
|
|
7.3. При м ери |
п орядок в ы п олн ен и я ла бораторн ог о зада н и я |
|||||||||
Ф у н к ц и я п олезн ости |
п отреби теля и м еет в и д: |
|||||||||
|
1 |
2 |
= |
2 / 3 |
x2 |
13/. |
) x, Ux( |
|
||
|
|
|
1 |
x3 |
п отреби тельи м еет |
|||||
О п редели тьм ак си м а льн у ю п олезн ость, если |
||||||||||
доход в 100д.е., а ц ен ы тов аров соотв ет ств ен н о рав н ы 5 и 10д.е./е.т.. Как ов а н орм а зам ен ы в торог о тов ара п ерв ы м в оп ти ма льн ой точк е?
46
Элем ен ты ЭМ М
Порядок в ы п олн ен и я задан и я
1. Рассм отри м а н али ти ческ ое реш ен и е да н н ой задачи .
Т ак |
к ак бюдж етн ое ог ран и чен и е в оп т и м альн ой точк е долж н о |
в ы п олн яться к а к ра в ен ст в о, т.е. |
|
и |
1* + |
|
*2 = |
|
|
|
, |
|
|
300 |
x |
10 |
5x |
(1) |
|
|||||||
в си лу тог о, что в се тов а ры н еобходи м ы , т.е. у слов и е |
|
|
|
|||||||||||||||||||
н еот ри ц ательн ост и п ерем ен н ы х бу дет в ы п олн ен о ав том ати ческ и , |
||||||||||||||||||||||
у слов и я лок альн ог о эк стрем у м а (5), (7) для дан н ой задачи п ри м у т |
||||||||||||||||||||||
в и д следу ющ ей си стем ы у рав н ен и й: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ì |
2x* |
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ï |
2 |
= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ï |
|
x1* |
10 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
||||||
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ï |
* |
+ |
|
* |
= 100 |
x 10 |
5x |
|
|
|
|||||||||||
|
ï |
1 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И зп ерв ог о у слов и я в ы тек ает, что |
* = |
*; |
п одстав ляем это |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x1 |
4x |
|
|
|
||
соот н ош ен и е в о 2-ое у ра в н ен и е си стем ы (2) и |
н аходи м : |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x1* = |
|
40 |
; |
x*2 |
= |
10 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|
40 |
|
10 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следов ательн о, |
оп ти м альн ы й н а бортов аров |
x* = ( |
|
, |
|
|
) , |
|||||||||||||||
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||
а м ак си м а льн ая ф у н к ц и я п олезн ости |
Umax =25,2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
2. |
Геом ет ри ческ ое реш ен и е дан н ой за дачи состои т в следу ющ ем . |
|||||||||||||||||||||
Д оп у ст и м ое м н ож еств о (т о естьм н ож еств о н а боров благ , |
||||||||||||||||||||||
дост у п н ы х для п отреби теля) п редста в ляет треу г ольн и к , |
|
|
|
|||||||||||||||||||
ог ран и чен н ы й осями |
к оорди н ат и бюджетн ой п рям ой. На этом |
|||||||||||||||||||||
м н ож ест в е требу ется н айт и |
точк у , п ри н адлеж ащ у ю к ри в ой |
|||||||||||||||||||||
безразли чи я с м ак си м альн ы м у ров н ем п олезн ости . Пои ск этой |
|
||||
точк и м ож н о и н терп рети ров атьг раф и ческ и |
к ак п оследов ательн ы й |
||||
п ереход н а ли н и и в се более в ы сок ог о у ров н я п олезн ости до т ех |
|
||||
п ор, п ок а эти ли н и и ещ е и м еют общ и е точк и |
с доп у сти м ы м |
|
|||
м н ож ест в ом . |
|
|
|
|
|
Граф и ческ ая и ллюстрац и я реш ен и я дан н ой за дачи , к ог да |
|
||||
бюдж етн а я п рям ая и м еет в и д у рав н ен и я |
|
1 + |
2 = 100, а |
x 10 5x |
|
у ров ен ьм ак си м альн ой п олезн ости |
1 |
23/ |
13/= 25,2 |
|
|
|
x2 3x |
|
|
||
п редстав лен а н а ри с.
47
Элем ен ты ЭМ М
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
M=100 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
U=25,2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
3. Рассчи таем н орм у зам ен ы одн ог о т ов ара дру г и м в оп ти м альн ой
т очк е: |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|||
|
∂U ∂x |
|
|
2x* |
2 * |
1 |
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
== |
, |
= |
||||
|
∂U |
|
|
x1* |
|
40 |
|
|||||||
|
∂x2 |
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
т .е. п отребу ется 2 ед. в т орог о тов а ра, чтобы за м ен и тьодн у |
||||||||||||||
в ы бы в ш у ю еди н и ц у п ерв ог о тов ара. |
||||||||||||||
|
|
|
|
7.4. Задача для са м остоят ельн ог о реш ен и я |
||||||||||
О п редели т ь, к ак ой н а борт ов аров в ы берет п отреби тель, обла дающ и й доходом в 300ден .ед., если ег о ф у н к ц и я п олезн ост и
= |
3 |
|
|
|
|
|
x3 x2x |
1 ) x,31 x,2Ux( |
|||
|
|
|
, |
|
|
а ц ен ы тов аров p1=2д.е./е.т ., |
p2 =4д.е./е.т., p3 = 1д.е./ е.т . |
||||
48
|
Элем ен ты ЭМ М |
|
|
Литература |
|
1. |
Ф едосеев В.В., Га рм аш А.Н., и др. Эк он ом и к о-м атем ати ческ и е |
|
|
м етоды и п ри к ладн ы е м одели : У чебн ое п особи е для в у зов .- М .: |
|
|
Ю НИ Т И , 1999. |
|
2. |
Зам к ов О .О ., Т олст оп ятен к о А.В., Ч ерем н ы х Ю .Н. |
|
|
М ат ем ати ческ и е м етоды в эк он ом и к е.- М .: М ГУ и м. М .В. |
|
|
Л ом он осов а, И зд-в о “Д ело и Серв и с”, 1999. |
|
3. |
В.А. Колема ев . М атем а ти ческ ая эк он ом и к а .- М .: Ю |
НИ Т И ,1998. |
4. |
Д ав н и с В.В., Л и хачев а Л .Н., Эйти н г он В.Н. М одели |
|
|
м ак роэк он ом и ческ ог о рав н ов еси я.- Ворон еж , И зд-в о ВГУ ,1995. |
|
5. |
Д райп ерН., См и т Г. При к ладн ой рег ресси он н ы й ан али з.-М .: |
|
|
Ф и С, 1986. |
|
|
Содерж ан ие |
|
1. |
Вв еден и е. |
3 |
2. |
О сн ов н ы е оп ерац и и м атри чн ой алг ебры в EXCEL. |
3 |
3. |
Эк он ом и к о-м атем а ти ческ ая модельм атери альн ог о |
|
|
балан са п рои зв одств а и расп ределен и я п роду к ц и и . |
5 |
4. |
М одели рег ресси он н ог о а н али за . |
16 |
5. |
Пау ти н ообразн а я м одель. |
29 |
6. |
При м ен ен и е п рои зв одств ен н ой ф у н к ц и и в эк он ом и к о- |
|
|
м атем а ти ческ ом м одели ров ан и и . |
34 |
7. |
М одельф и рм ы . |
40 |
8. |
М одельп отреблен и я. |
45 |
9. |
Л и терат у ра. |
50 |
Соста в и тели : Д а в н и с Валери й Влади ми ров и ч
|
Щ |
еп и н а И ри н а Нау м ов н а |
|
М ок ш и н а Св етла н а И в ан ов н а |
|
|
Вои щ ев а О льг а Стан и слав ов н а |
|
|
Щ |
ек у н ск и х Св етлан а Ста н и слав ов н а |
Реда к тор: |
Бу н и н а Т .Д . |
|
49