ГОСы / ФБИ ИИС 2016

Введем функцию полезности U: S → R. Обозначим Sn - состояние,

соответствующее обладанию n рублей. Пусть текущие накопления составляют k рублей,

т.е. начальное состояние Sk. Полученные состояния соответственно Sk+1000000 и Sk+3000000. Замечание: При наличии изначально денежной суммы полезность не является

прямо пропорциональной денежному значению (полезность первого миллиона гораздо

выше, чем второго, третьего, … десятого).

В соответствии с принципом максимальной ожидаемой полезности необходимо вычислить ожидаемые полезности двух альтернатив:

EU(Принять)=

EU(Отклонить)= U(Sk+1000000) Положим:

Тогда:

В оригинальном исследовании фактически применяемых функций полезности Грейсон (1960) обнаружил, что полезность денег почти точно пропорциональна логарифму их количества. Предположение об этом впервые высказал Бернулли (1738).

Полученные Грейсоном данные совместимы со следующей функцией полезности для диапазона n= - 150000$ до n= 800000$: U(Sn) = - 263.31 + 22.09 log (n+150000)

Предпочтения между различными уровнями задолженности могут показывать

обратное поведение по отношению к вогнутости, связанной с положительными

накоплениями (выпуклость). Приходим к S-образной кривой:

В положительной части кривых уклон постепенно уменьшается. В этом случае для любой лотереи L полезность решения, в котором ЛПР сталкивается с выбором в этой лотерее, меньше, чем полезность получения ожидаемого денежного выигрыша в этой лотерее U(L)<U(ES(L))

Говорят, что ЛПР с вогнутыми кривыми полезности избегают риска. В

отрицательной области с выпуклыми кривыми полезности ЛПР характеризуется стремлением к риску.

Сумма, которую ЛПР готов приобрести вместо лотереи (ЛПР безразличен между выбором лотереи и этой суммой), называется детерминированным эквивалентом

(эквивалентом определенности) лотереи. Разность между ожидаемым денежным значением лотереи и ее детерминированным эквивалентом называется страховой премией.

5 Теория полезности. Обоснование S- образности кривой

полезности.

Предпочтения между различными уровнями задолженности могут показывать обратное поведение по отношению к вогнутости, связанной с положительными накоплениями

(выпуклость). Приходим к S-образной кривой:

В положительной части кривых уклон постепенно уменьшается. В этом случае для любой лотереи L полезность решения, в котором ЛПР сталкивается с выбором в этой лотерее, меньше, чем полезность получения ожидаемого денежного выигрыша в этой лотерее

U(L) <U(ES(L)):

Говорят, что ЛПР с вогнутыми кривыми полезности избегают риска.

В отрицательной области с выпуклыми кривыми полезности ЛПР характеризуется

стремлением к риску.

Сумма, которую ЛПР готов приобрести вместо лотереи (ЛПР безразличен между выбором лотереи и этой суммой), называется детерминированным эквивалентом

(эквивалентом определенности) лотереи.

Разность между ожидаемым денежным значением лотереи и ее детерминированным эквивалентом называется страховой премией.

S1 и S2 – два крайних исхода.

L=[S1,1/2; S2,1/2].

– детерминированный эквивалент. Красная черта – страховая премия.

ES(L)=1/2*S1+1/2*S2 – средний ожидаемый выигрыш.

U(L)= 1/2*u(S1)+1/2*u(S2) – полезность лотереи.

( ) = U(L).

S-образная кривая может быть задана следующим выражением:

S-образная сплайн-функция может быть также задана другим выражением:

Данные функции принадлежности порождают нормальные выпуклые нечеткие множества с ядром [b,+бесконечность) и носителем (a,+бесконечность).

На данном рисунке a=20, b=60, a b =40

2

S-образные функции используются для представления нечетких множеств,

характеризующихся неопределенностью вида «значительная величина», «высокий сервис обслуживания». Особенность нечеткого моделирования при этом заключается в представлении соответствующих нечетких множеств с помощью неубывающих функций принадлежности.

6Теория полезности. Определение отношения к риску на основе понятия детерминированного эквивалента.

ЛПР с вогнутыми кривыми полезности избегают риска. В отрицательной области с выпуклыми кривыми полезности ЛПР характеризуется стремлением к риску.

Сумма, которую ЛПР готов приобрести вместо лотереи (ЛПР безразличен между выбором лотереи и этой суммой), называется детерминированным эквивалентом

(эквивалентом определенности) лотереи.

Разность между ожидаемым денежным значением лотереи и ее детерминированным эквивалентом называется страховой премией.

Детерминированный эквивалент для выпуклой и вогнутой

функции.

Для монотонной функции полезности детерминированный эквивалент любой лотереи

определяется единственным образом.

Говорят, что ЛПР с вогнутыми кривыми полезности избегают риска. В отрицательной области с выпуклыми кривыми полезности ЛПР характеризуется стремлением к риску.

Сумма, которую ЛПР готов приобрести вместо лотереи (ЛПР безразличен между выбором лотереи и этой суммой), называется детерминированным эквивалентом лотереи.

Разность между ожидаемым денежным значением лотереи и ее детерминированным эквивалентом называется страховой премией.

9 Логарифмическая функция полезности. Пример.

Полезность – это функция, которая отображает множество состояний на множество

отношении ЛПР к риску.

Поэтому первоначально необходимо установить качественные характеристики функций полезности, отражающие особенности предпочтений ЛПР.

Выразив эти особенности математически, можно аналитически описать ограничения на функцию полезности, которые вытекают из наличия этих особенностей.

Данный подход облегчает построение функции полезности, позволяет осуществлять автоматизацию решений.