ГОСы / ФБИ ИИС 2016

10 Экспоненциальная функция полезности. Пример.

−− = −0,5 −1 − 0,5 −2.

Предположим, что лотерея описывается плотностью равномерного распределения на отрезке [x1; x2].

0, в противном случае

Найти ожидаемый выигрыш и детерминированный эквивалент.

Если выигрыши лотереи увеличить на определенную сумму, то и детерминированный эквивалент увеличится на ту же самую сумму. Это является важным свойством экспоненциальной функции полезности.

11 Квадратичная функция полезности. Пример.

Убывающая функция полезности. Пусть u(x)=-x2, x>=0. Найти ожидаемые выигрыши и детерминированные эквиваленты для лотерей L1=[0,0.5; 10,0.5] и L2=[10,0.5; 20,0.5] .

Решение: Ожидаемые выигрыши находятся по формуле

= 1+2 2. Для L1 =5, L2 =15.

Детерминированный эквивалент находится из уравнения = или для

L1: − 2 = −0.5 0 − 0.5 100 = −50; 2 = 50; = 7.07

L2: − 2 = −0.5 100 − 0.5 400 = −250; 2 = 250; = 15,8

Это означает, что принимающему решение безразлично получить ли 7,07 наверняка или участвовать в лотерее L1, получить ли 15,8 наверняка или участвовать в L2.

12 Теоремы о несклонности к риску. Надбавка за риск.

Теорема 2. ЛПР не склонен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности вогнута.

Следствие. ЛПР, который предпочитает получение наверняка ожидаемого выигрыша любой лотереи [x1,0.5; x2,0.5] (для любых неравных друг другу x1 и x2) участию в самой лотерее, не склонен к риску.

Теорема 4. При возрастающих функциях полезности ЛПР не склонен к риску тогда и только тогда, когда его детерминированный эквивалент для любой невырожденной лотереи меньше, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее.

Определение. Надбавкой за риск к лотерее называется разность между ее ожидаемым выигрышем и детерминированным эквивалентом:

Теорема 5. При возрастающих функциях полезности ЛПР не склонен к риску тогда и только тогда, когда надбавка за риск для него положительна для всех невырожденных лотерей.

Надбавка за риск – это сумма (в единицах измерения критерия X), которую принимающий решение согласен «уступить» из среднего выигрыша за то, чтобы избежать риска, связанного с данной лотереей.

13 Теоремы о склонности к риску. Надбавка за риск.

Теорема 3. ЛПР склонен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности выпукла.

Теорема 6. При возрастающих функциях полезности ЛПР склонен к риску тогда и только тогда, когда его детерминированный эквивалент для любой невырожденной лотереи больше, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее.

Надбавка за риск для возрастающих функций полезности определена как разность между ожидаемым выигрышем и детерминированным эквивалентом. Исходя непосредственно из этого определения, мы получаем теорему 7.

Теорема 7. При возрастающих функциях полезности ЛПР склонен к риску тогда и только тогда, когда надбавка за риск для него отрицательна для всех невырожденных лотерей.

14Пример функции полезности для ЛПР несклонного к риску.

Улиц, не склонных к риску, психологические переживания в связи с потерей некоторой суммы денег являются более сильными, чем удовлетворение от выигрыша такой же суммы.

Это означает, что для такого ЛПР, обладающего богатством в размере х0 рублей,

функция полезности должна удовлетворять условию:

u(x0) - u(x0 - х) > u(x0 + х)- u(x0),

где:

u(x0) - u(x0 - х) - отражает уменьшение полезности (то есть меру переживаний,

неудовлетворения) из-за потери х рублей,

u(x0 + х) - u(x0) - отражает увеличение полезности (то есть меру удовлетворения) от выигрыша такой же суммы х.

Данное условие выполняется, если функция полезности является "выпуклой вверх".

На нижеприведѐнном рисунке хорошо видно, что выпуклая вверх функция u(x)действительно отражает большую "чувствительность" ЛПР к возможным потерям,

чем к выигрышам.

На графике изображена функция полезности ЛПР несклонного к риску. В данной ситуации при достижении детерминированного эквивалента (доход = 150 000) происходит перегиб функции, и рост полезности от увеличивающейся суммы дохода сильно замедляется.

15 Пример функции полезности для ЛПР склонного к риску.

отношение к риску описывается "выпуклой вниз" функцией полезности (рисунок ниже):

Из графика видно, что предельная полезность богатства инвестора склонного к риску возрастает по мере роста его богатства. Кроме того, при изменении богатства на одинаковую величину при его росте его предельная полезность увеличивается в большей степени в сравнении с ее падением при уменьшении богатства. В результате, среди активов с одинаковым ожидаемым доходом, но разным риском, инвестор предпочтет более рискованный актив. Поскольку функция полезности не склонного к риску инвестора является возрастающей, то ее первая производная положительна, т.е. U'(w)> 0. Предельная полезность является величиной возрастающей, поэтому вторая производная функции полезности также положительна, т.е. U"(w)> 0.

1)указывала, что отражает функция полезности – несклонность или же, напротив, склонность к риску (т.е. включала u’’);

2)Была бы одинаковой для стратегически эквивалентных функций.

Если u1 и u2 стратегически эквивалентные функции, то u2 = a + b u1, → u2’ = b u1’ u2’’ = b u1’’

u2’’/u2’ = u1’’/u1’

Таким образом, подходящей мерой является u’’/u’

Локальная несклонность к риску в точке x определяется с помощью функции несклонности

r(x)= - u’’(x)/ u’(x)

С вычислительной точки зрения полезно заметить, что r(x)= - (d/dx) [log u’(x)] Комментарий: ≡ обозначает «тождественно равно» (не зависимо от значений переменных) Теорема. Две функции полезности стратегически эквивалентны тогда и только тогда,

когда они приводят к одной и той же функции несклонности к риску.

Док-во. Необходимость. Пусть u2 = a + b u1 u2’ = b u1’, u2’’ = b u1’’ . Тогда r2(x) ≡ - u2’’(x) / u2’(x) = - (b u1’’(x)) / (b u1’(x)) = - u1’’(x) / u1’(x) ≡ r1(x)

Интерпретация функции несклонности к риску

Обозначим х0 - первоначальное состояние, регистрируемое по шкале критерия X. Введем дополнительно х - лотерею с ожидаемым выигрышем E(х )=0. Обозначим (х0, х ) -

надбавку за риск ЛПР к лотерее х0 + х. В этих обозначениях можно показать, что

π(х_0,х ̃)≈1/2 σ_х^2 r(х_0)

r(х_0)≈2 π(х_0,х ̃)/(σ_х^2 )

Т.е. функция несклонности к риску равна удвоенной надбавке за риск, приходящейся

на единицу дисперсии лотереи х.

17 Связь между надбавкой за риск и функцией несклонности к

риску.

На рисунке показана зависимость надбавки за риск и детерминированного эквивалента для <0,10> от параметра C функии полезности u(х)= -е –сх (при

несклонности к риску).

Как и следовало ожидать, надбавка за риск к лотерее возрастет, а

детерминированный эквивалент уменьшается по мере того, как возрастает несклонность к риску. Для всех значений С надбавка за риск и детерминированный эквивалент в сумме равны ожидаемому выйгрышу.

Связь между надбавкой за риск и функцией несклонности к риску.

Найти функцию несклонности к риску для = − − ; ′ =

Следовательно функция постоянна и не зависит от х.

информационных систем.

Для интеллектуальных информационных систем, ориентированных на генерацию алгоритмов решения задач, характерны следующие признаки:

•развитые коммуникативные способности,

•умение решать сложные плохо формализуемые задачи,

•способность к самообучению,

•адаптивность.

Коммуникативные способности ИИС характеризуют способ взаимодействия

(интерфейса) конечного пользователя с системой, в частности, возможность формулирования произвольного запроса в диалоге с ИИС на языке, максимально приближенном к естественному.

Сложные плохо формализуемые задачи - это задачи, которые требуют построения оригинального алгоритма решения в зависимости от конкретной ситуации, для которой могут быть характерны неопределенность и динамичность исходных данных и знаний.

Способность к самообучению - это возможность автоматического извлечения знаний для решения задач из накопленного опыта конкретных ситуаций.

Адаптивность - способность к развитию системы в соответствии с объективными изменениями модели проблемной области.

В различных ИИС перечисленные признаки интеллектуальности развиты в неодинаковой степени и редко, когда все четыре признака реализуются одновременно.

Условно каждому из признаков интеллектуальности соответствует свой класс ИИС

•Системы с интеллектуальным интерфейсом;

•Экспертные системы;

•Самообучающиеся системы;

•Адаптивные системы.

Все четыре признака интеллектуальности в той или иной степени реализуются в системах управления знаниями.