Действия над матрицами

1. Сложение матриц

Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица , элементы которой для (т.е. матрицы складываются поэлементно).

(4)

Пример 1.4.

Сложить матрицы и .

Решение.

Пример 1.5. Сложить матрицы и , где

.

Решение.

Свойства операции сложения

1. – сочетательное свойство сложения матриц (ассоциативность);

2. – переместительное свойство сложения матриц (коммутативность);

3. , где - нуль матрица.

4. , где - нуль матрица.

5. – распределительное свойство умножения матрицы на число относительно суммы чисел (дистрибутивность);

6. – дистрибутивность умножения матрицы на число относительно суммы матриц;

Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: .

Пример 1.6. Найти разность матриц

Решение.

или

=

2. Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой для .

Матрицу умножаем на число, это значит, каждый элемент матрицы умножаем на данное число:

(5)

Пример 1.7.

Умножить матрицу на число 5.

Решение.

Пример 1.8.

Общий множитель можно выносить за скобку:

или .

3. Умножение матриц

1) Умножение матрицы-строки на матрицу-столбец

(количество столбцов в матрице-строке должно быть равно количеству строк в матрице-столбце)

(6)

Пример 1.9.

Умножить матрицу на матрицу .

Решение.

2) Умножение матриц

Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Тогда произведение матриц , каждый элемент матрицы равен сумме, произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы : для .

(7)

Пусть - заданная матрица коэффициентов, - неизвестная матрица (вектор-столбец), - матрица свободных членов (вектор-столбец).

Тогда, матричная запись является системой уравнений, и имеет вид:

.

Условие, когда произведение матриц определено, а также размеры произведения двух матриц удобно изобразить при помощи схематического рисунка:

Если справедливо равенство , то такие матрицы называются коммутирующими.

Пример 1.10. Например, матрицы и

коммутирующие. Действительно:

и ,

т.е. справедливо равенство .

Пример 1.11.

Умножить матрицу на матрицу .

Решение.

Пример 1.12. Умножить матрицы и , где

Решение.

3) Умножение матрицы-столбца на матрицу-строку

(8)

Пример 1.13.

Умножить матрицу на матрицу .

Решение.

Свойства операции умножения

1. – сочетательное свойство умножения матриц (ассоциативность);

2. ;

3. ;

4. ;

5. , - единичная матрица;

6.

7.

8. – наличие обратного элемента.

4. Возведение в степень

Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение матриц, равных , т.е.

. (9)

5. Транспонирование матриц

Матрица при транспонировании переходит в матрицу , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Например,

, .

Свойства транспонирования матриц:

1.

2.

3.

4.

Задачи для самостоятельной работы

Найти произведение матриц и .

1. .

2. .

3. .

4. Найти , если .

5. Найти , если .

6. Даны матрицы . Найти .

7. Найти .

8. Дана матрица . Найти .

2. Определители. Вычисление определителей

Рассмотрим в общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

(10)

Допустим, что система имеет решение и пара составляет решение, так что оба уравнения уже обратились в верные равенства. Решая систему уравнений, получим решение вида

, (11)

Если , то наши рассуждения не приводят ни к какому результату, и поэтому будем полагать что . Для выражения существует специальное название определитель матрицы и специальное обозначение:

, (12)

где .

Пример 2.1. Рассмотрим .

.

С помощью определителей формулы (11) записываются в виде:

, (13)

Рассмотрим систему уравнений с тремя переменными и тремя неизвестными

(14)

Запишем его в матричном виде:

(15)

Решая данную систему уравнений и вводя обозначение:

(16)

можно показать, что решение системы

, ,

Итак, мы показали, что формулы для решения в общем виде линейных систем уравнений при и имеют сходную структуру и основную роль в них играют определители второго порядка

и третьего порядка

Оба эти выражения представляют собой алгебраические суммы произведений элементов матриц, причём эти произведения составляются по одному элементу из каждой строки и по одному из каждого столбца. Все такие произведения входят в состав определителя. Произведения снабжаются знаками плюс или минус по определённому правилу.

С каждой квадратной матрицей свяжем определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице.

Обозначение:

.

Определение 2.1.

Определителем матрицы первого порядка, называется сам элемент :

.

Определение 2.2.

Определителем матрицы второго порядка, называется число

.

Определение 2.3.

Определителем матрицы третьего порядка, называется число

Последнее равенство вычисляется по правилу Саррюса (часто его называют правилом треугольника):

а (+) б (–)

Пример 2.2.

Вычислить определитель .

Решение.

Определитель третьего порядка может быть преобразован следующим образом:

Пример 2.3.

Вычислить определитель .

Решение.

Определение 2.4.

Определителем (детерминантом) -го порядка называется число , равное алгебраической сумме слагаемых ( ), каждое из которых есть произведение множителей , являющихся элементами ровно одной строки и ровно одного столбца. Обозначение:

(17)

Определение 2.5.

Минором элемента квадратной матрицы -го порядка называется определитель матрицы ( )-го порядка, остающийся после вычеркивания -й строки и -го столбца данной матрицы -го порядка (то есть строки и столбца на пересечении которых стоит элемент ).

Обозначение: .

Пример 2.4. Вычислите определитель

Решение.

2^ая строка +1^ая, умноженная на 2;

3^я строка +1^ая, умноженная на -3, 4^ая строка +1^я, умноженная на 1 =

= разложим по элементам 1-го столбца:

Определение 2.6.

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком , где – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент

. (18)

Пусть задана матрица A размером 4х4:

,тогда  , .

Заметим, что , если - четное число,

, если - нечетное.

Теорема 2.1 (Лапласа).

Определитель матрицы -го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

. (19)

Разложение по элементам -ой строки :

. (20)

Разложение по элементам -ого столбца :

. (21)