Содержание:

1. Матрицы. Основные понятия и определения. Действия над матрицами 4

2. Определители. Вычисление определителей 14

3. Обратная матрица. Ранг матрицы 21

4. Система линейных алгебраических уравнений 24

4.1. Способы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными. Матричный способ и метод Крамера 25

4.2. Способ решения системы m линейных уравнений с n неизвестными – метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных) 29

Второй метод вычисления обратной матрицы. 32

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ 34

1. Задание по теме «Матрицы. Определители. Системы линейных алгебраических уравнений» 34

Литература 38

Основная 38

Дополнительная 38

1. Матрицы. Основные понятия и определения. Действия над матрицами

Многие задачи математики (и не только математики) приводят к рассмотрению специальных таблиц (в общем случае прямоугольных), составленных из чисел

В этой таблице 3 строки и 4 столбца, ее полезно представить схематично.

Определение 1.1.

Прямоугольная таблица чисел или букв, состоящая из строк и столбцов называется матрицей порядка .

. (1)

Числа ( ) называются элементами матрицы (здесь первый индекс – номер строки, а второй – номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент).

Пример 1.1.

Матрицы, составленные из чисел, возникают при рассмотрении систем линейных уравнений

(2)

Пример 1.2.

Рассмотрим систему . (*)

Системе линейных алгебраических уравнений (*) соответствуют две матрицы:

А называется матрицей коэффициентов системы (*), В – её расширенной матрицей. Ясно, что система (*) вполне определяется заданием матрицы В.

Определение 1.2.

Частным случаем – матрицы являются и такие матрицы как , это так называемая матрица-строка.

Определение 1.3.

Матрица вида называется матрица-столбец.

Определение 1.4.

Матрица, полученная из матрицы А заменой строк на столбцы, называется транспонированной матрицей и обозначается .

. (3)

Определение 1.5.

Рассмотрим две матрицы одинакового строения: A = (a_ij)_m,n, B = (b_ij)_m,n, (они имеют одинаковое число строк m, и одинаковое число столбцов n). Матрица А называется равной матрице В, если они равны поэлементно.

(A = B) (_i,j)(a_ij = b_ij) т.е. соответствующие элементы матриц А и B равны.

Пример 1.3.

Например, если A = B

,

то а₁₁ = 1, a₁₂ = 0, a₁₃ = 2, a₁₄ = -1; a₂₁ = 3, a₂₂ = -4, a₂₃ = 1, a₂₄ = -5.

Определение 1.6.

Матрица называется нулевой или нуль-матрицей, если все элементы матрицы равны нулю.

Определение 1.7.

Матрица размера называется квадратной матрицей n-го порядка.

Замечание. Диагональ называется главной диагональю квадратной матрицы, а диагональ – побочной диагональю.

Определение 1.8.

Квадратная матрица называется единичной, если элементы главной диагонали равны единице, а остальные элементы равны нулю.

Определение 1.9.

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю.

Определение 1.10.

Выделим из множества квадратных матриц так называемые треугольные матрицы:

- верхнетреугольная,

нижнетреугольная.