Системный анализ в управлении - Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. (под ред. Емельянова А.А

возможными постановку задач оптимизации, т. е. задач нахожде­ ния в классе эквивалентных систем системы с экстремальными значениями определяемых в них функционалов.

В основе системного анализа как науки лежат определения основных понятий и принципы проведения анализа. Рассмотрим эти понятия.

1.2.2.

ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ КАК СЕМАНТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Строгого, единого определения для понятия «система» в на­ стоящее время нет. В качестве «рабочего» определения в литера­ туре под системой в общем случае понимается совокупность эле­ ментов и связей между ними, обладающая определенной целост­ ностью.

Рассматривая систему относительно построения ИС, более полно это определение можно пояснить на основе понятия мо­ дели.

Пусть АяВ- два произвольных множества. Функция/, одно­ значно ставящая в соответствие каждому элементу ае А элемент /(а)€ В, называется отображением множества А в множество В и обозначается как / : А—>В или А — ^ В.

Элемент Да) = b называется значением элемента а при ото­ бражении/, или образом а; А- область определения, В - область значений отображения/.

Если есть элементы bje В, не являющиеся образом никаких элементов а,- € ^, то отображение/называется отображением «в» В. Если f (А) = В, то отображение / называется отображением «на» В.

Функция/''(5) - множество элементов из ^, образы которых принадлежат В, называется прообразом множества В, т.е. /-1(B) = {аеА \М е В}.

В общем случае/"' может не быть отображением «в» или «на» А, так как функция/'' может быть неоднозначной.

Отображение/называется взаимно однозначным, если каж­ дый элемент множества В является образом не более чем одного элемента из У4.

22 Глава 1

Отображение/множества А на (в) В называется гомоморфиз­ мом множеств, если выполняется условие (а,, Oj, ..., а^) => (/(flj),

/(a^l ... ,f(a^)). гдеа,.е A.f(a^ е В.

Изоморфизм множества А на В является взаимно однознач­ ным гомоморфизмом, т. е. (Oj, «2. .. , О/^) G А <=> (,f(ci^,f(a.^, ... , f(a,))eB.

Введенные понятия позволяют определить модель как изомор­ физм А в^, где А - множество фиксированных элементов пред­ метной области с исследуемыми связями, отношениями между эти­ ми элементами, Ч* - абстрактное множество, задаваемое кортежем

Предикат - это логическая и-я пропозициональная функция, определенная для предметной области и принимающая значения либо истинности, либо ложности.

Носитель модели является содержательной областью преди­ катов Р^, Р2,..., Р„ Предикаты называются сигнатурой модели Ч*.

Выбор носителя и сигнатуры при построении модели опреде­ ляется предметом исследования.

Уточним теперь понятие системы, ориентированное на зада­ чи декомпозиции, анализа и синтеза, т.е. на проведение преобра­ зования Ч*^ ->^б между двумя подмоделями.

PQ(4'^, 4*^,) = 1, если преобразование 4'^-»4'^, существует при взаимно однозначном соответствии между элементами носите­ лей моделей Ч'д и 4*^, в противном случае PQC^^, ^I) = 0. Наличие предиката целостности позволяет говорить о том, что система - это семантическая модель, имеющая внутреннюю интерпретацию.

Подмодель Уд может быть представлена в виде кортежа, вклю­ чающего пять объектов:

где X = x{t) - входной сигнал, т.е. конечное множество функций времени /: <Хо(0,..., xi^(t)>;

У = У(') - выходной сигнал, представляющий собой конечное множе­ ство функций у = < yj(t). ..., yjt) >;

z = z(t) - переменная состояния модели Ч'д, также характеризующаяся конечным множеством функций z = < z^(t)...., z^(t) >, знание которых в заданный момент времени позволяет определить значения выходных характеристик модели Т^;

/ и g - функционалы (глобальные уравнения системы), задающие текущие значения выходного сигнала у (О и внутреннего состояния z (t):

Соотношения (1.4) и (1.5) называют уравнением наблюдения и уравнением состояния системы соответственно. Если в описа­ ние системы введены функционалы/и g, то она уже не рассмат­ ривается как «черный ящик». Однако для многих систем опреде­ ление глобальных уравнений оказывается делом трудным и за­ частую даже невозможным, что и объясняет необходимость использования этого термина.

Кроме выражения (1.2) систему задают тремя аксиомами.

А к с и о м а 1. Для системы определены пространство состо­ яний Z, в которых может находиться система, и параметрическое пространство Т, в котором задано поведение системы.

В связи с этим математические описания вида (1.3) приня­ то называть динамическими системами, так как они отражают способность систем изменять состояния z (t) в параметрическом пространстве Т. В отличие от динамических статические сис­ темы таким свойством не обладают. В качестве параметриче-

24 Глава 1

ского пространства обычно рассматривается временной интер­ вал (О, оо).

А к с и о м а 2. Пространство состояний Z содержит не менее двух элементов. Эта аксиома отражает естественное представле­ ние о том, что сложная система может находиться в разных со­ стояниях.

А к с и о м а 3. Система обладает свойством функциональной эмерджентности.

Эмерджентность (целостность) - это такое свойство систе­ мы S, которое принципиально не сводится к сумме свойств эле­ ментов, составляющих систему, и не выводится из них:

т

1

где у^ - г-я характеристика системы S,

т - общее количество характеристик.

При таком рассмотрении система является совокупностью моделей и, главное, отражает семантику предметной области в отличие от неинтерпретированных частных математических мо­ делей. Другими словами, система - это совокупность взаимосвя­ занных элементов, обладающая интегративными свойствами (эмерджентностью), а также способ отображения реальных объектов.

В рамках изучаемой дисциплины под сложной кибернетичес­ кой системой понимается реальный объект с управлением и его отображение в сознании исследователя как совокупность моде­ лей, адекватная решаемой задаче.

1.2.3. 1СЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ

Системы принято подразделять на физические и абстрактные, динамические и статические, простые и сложные, естественные и искусственные, с управлением и без управления, непрерывные и дискретные, детерминированные и стохастические, открытые и замкнутые.

Деление систем на физические и абстрактные позволяет раз­ личать реальные системы (объекты, явления, процессы) и систе­ мы, являющиеся определенными отображениями (моделями) ре­ альных объектов.

Для реальной системы может быть построено множество сис­ тем - моделей, различаемых по цели моделирования, по требуе­ мой степени детализации и по другим признакам.

Например, реальная ЛВС, с точки зрения системного адми­ нистратора, - совокупность программного, математического, информационного, лингвистического, технического и других видов обеспечения, с точки зрения противника, - совокупность объектов, подлежащих разведке, подавлению (блокированию), уничтожению, с точки зрения технического обслуживания, - со­ вокупность исправных и неисправных средств.

Деление систем на простые и сложные (большие) подчерки­ вает, что в системном анализе рассматриваются не любые, а имен­ но сложные системы большого масштаба. При этом выделяют структурную и функциональную (вычислительную) сложность.

Общепризнанной границы, разделяющей простые, большие и сложные системы, нет. Однако условно будем считать, что слож­ ные системы характеризуются тремя основными признаками: свойством робастности, наличием неоднородных связей и эмерджентностью.

Во-первых, сложные системы обладают свойством робастно­ сти - способностью сохранять частичную работоспособность (эффективность) при отказе отдельных элементов или подсистем. Оно объясняется функциональной избыточностью сложной сис­ темы и проявляется в изменении степени деградации выполняе­ мых функций, зависящей от глубины возмущающих воздействий. Простая система может находиться не более чем в двух состоя­ ниях: полной работоспособности (исправном) и полного отказа (неисправном).

Во-вторых, в составе сложных систем кроме значительного количества элементов присутствуют многочисленные и разные по типу (неоднородные) связи между элементами. Основными типа­ ми считаются следующие виды связей: структурные (в том числе иерархические), функциональные, каузальные (причинно-след­ ственные, отношения истинности), информационные, простран­ ственно-временные. По этому признаку будем отличать сложные

системы от больших систем, представляющих совокупность од­ нородных элементов, объединенных связью одного типа.

В-третьих, сложные системы обладают свойством, которое отсутствует у любой из составляющих ее частей. Это интегративность (целостность), или эмерджентность. Другими словами, от­ дельное рассмотрение каждого элемента не дает полного пред­ ставления о сложной системе в целом. Эмерджентность может достигаться за счет обратных связей, играющих важнейшую роль в управлении сложной системой.

Считается, что структурная сложность системы должна быть пропорциональна объему информации, необходимой для ее опи­ сания (снятия неопределенности). В этом случае общее количе­ ство информации о системе S, в которой априорная вероятность появления у-го свойства равна р{уХ определяется известным со­ отношением для количества информации

Это энтропийный подход к дескриптивной (описательной) сложности.

Одним из способов описания такой сложности является оцен­ ка числа элементов, входящих в систему (переменных, состояний, компонентов), и разнообразия взаимозависимостей между ними.

В общей теории систем утверждается, что не существует сис­ тем обработки данных, которые могли бы обработать более чем 2-10^^ бит в секунду на грамм своей массы. При этом компью­ терная система, имеющая массу, равную массе Земли, за период, равный примерно возрасту Земли, может обработать порядка 10^^ бит информации (предел Бреммермана). Задачи, требующие обработки более чем 10^^^ бит, называются трансвычислитель­ ными. В практическом плане это означает, что, например, пол­ ный анализ системы из ПО переменных, каждая из которых мо­ жет принимать 7 разных значений, является трансвычислитель­ ной задачей.

Для оценки сложности функционирования систем применя­ ется алгоритмический подход. Он основан на определении ресур­ сов (время счета или используемая память), используемых в сис­ теме при решении некоторого класса задач. Например, если фун­ кция времени вычислений является полиномиальной функцией от входных данных, то мы имеем дело с полиномиальным по вре-

мени, или «легким» алгоритмом. В случае экспоненциального по времени алгоритма говорят о его «сложности». Алгоритмическая сложность изучается в теории NP-полных задач.

Сложные системы допустимо делить на искусственные и ес­ тественные (природные).

Искусственные системы, как правило, отличаются от природ­ ных наличием определенных целей функционирования (назначе­ нием) и наличием управления.

Рассмотрим еще один важный признак классификации сис­ тем. Принято считать, что система с управлением, имеющая не­ тривиальный входной сигнал x{t) и выходной сигнал y{t), может рассматриваться как преобразователь информации, перерабаты­ вающий поток информации (исходные данные) x{t) в поток ин­ формации (рещение по управлению) y(t).

В соответствии с типом значений x{t), y{t), z(0 и / системы де­ лятся на дискретные и непрерывные.

Такое деление проводится в целях выбора математического аппарата моделирования. Так, теория обыкновенных дифферен­ циальных уравнений и уравнений в частных производных позво­ ляет исследовать динамические системы с непрерывной перемен­ ной (ДСНП). С другой стороны, современная техника создает антропогенные динамические системы с дискретными события­ ми (ДСДС), не поддающиеся такому описанию. Изменения со­ стояния этих систем происходят не непрерывно, а в дискретные моменты времени, по принципу «от события к событию». Мате­ матические (аналитические) модели заменяются на имитацион­ ные, дискретно-событийные: модели массового обслуживания, сети Петри, цепи Маркова и др.

Примеры фазовых траекторий ДСДС и ДСНП показаны на рис. 1.3, а, б.

Для ДСДС траектория является кусочно-постоянной и фор­ мируется последовательностью событий и. Последовательность отрезков постоянства отражает последовательность состояний 2 системы, а длительность каждого отрезка отражает время пре­ бывания системы в соответствующем состоянии. Под состоя­ нием при этом понимается «физическое» состояние (например, число сообщений, ожидающих передачи в каждом узле обра­ ботки). Состояния принимают значения из дискретного мно­ жества.

Таким образом, траектория описывается последовательно­ стью из двух чисел (состояния и времени пребывания в нем). Сле­ дует подчеркнуть, что термин «дискретный» отличается от ши­ роко используемого прилагательного «цифровой», поскольку последнее означает лишь то, что анализ задачи ведется не в тер­ минах вещественной числовой переменной, а численными мето­ дами. Траектория ДСНП, состояниями которой являются точки пространства R", постоянно изменяется и, вообще говоря, разви­ вается на основе непрерывных входных воздействий. Здесь под состоянием понимается «математическое» состояние в том смыс­ ле, что оно включает в себя информацию к данному моменту вре­ мени (кроме внешних воздействий), которая необходима для од­ нозначного определения дальнейшего поведения системы. Ма­ тематическое определение включает в себя и физическое определение, но не наоборот.

Для перехода от детерминированной к стохастической систе­ ме достаточно в правые части соотношений (1.4) и (1.5) добавить в качестве аргументов функционалов случайную функцию p{i), принимающую значения на непрерывном или дискретном мно­ жестве действительных чисел.

Следует иметь в виду, что в отличие от математики для сис­ темного анализа, как и для кибернетики, характерен конструк­ тивный подход к изучаемым объектам. Это требует обеспечения корректности задания системы, под которой понимается возмож­ ность фактического вычисления выходного сигнала ;'(/) (с той или иной степенью точности) для всех / > О при задании начального состояния системы z(0) и входного сигнала x{t) для всех t^. Поэто­ му при изучении сложных систем приходится переходить к ко­ нечным аппроксимациям.

Системы с нетривиальным входным сигналом x(t), источни­ ком которого нельзя управлять (непосредственно наблюдать), или системы, в которых неоднозначность их реакции нельзя объяс­ нить разницей в состояниях, называются открытыми.

Признаком, по которому можно определить открытую систе­ му, служит наличие взаимодействия с внешней средой. Взаимо­ действие порождает проблему «предсказуемости» значений вы­ ходных сигналов и, как следствие, - трудности описания откры­ тых систем.

Примером трудностей описания является понятие «странный аттрактор» - специфическое свойство некоторых сложных сис­ тем. Простейший аттрактор, называемый математиками непод­ вижной точкой, представляет собой такой вид равновесия, кото­ рый характерен для состояния устойчивых систем после кратков­ ременного возмущения (состояние покоя емкости с водой после встряхивания). Второй вид аттрактора - предельный цикл маят­ ника. Все разновидности предельного цикла предсказуемы. Тре­ тья разновидность называется странным аттрактором. Обнару­ жено много систем, имеющих встроенные в них источники нару­ шений, которые не могут быть заранее предсказаны (погода, место остановки шарика в рулетке). В экспериментах наблюдали за краном, из которого нерегулярно капали капли, хотя проме­ жутки должны быть регулярными и предсказуемыми, так как вен­ тиль зафиксирован и поток воды постоянен.

Математическим примером странного аттрактора является аттрактор Хенона - система уравнений, смоделированная в LabVIEW (рис. 1.4, а, б).

Понятие открытости систем конкретизируется в каждой пред­ метной области. Например, в области информатики открытыми информационными системами называются программно-аппарат­ ные комплексы, которым присущи следующие свойства:

•переносимость (мобильность) - программное обеспечение (ПО) может быть легко перенесено на различные аппаратные платформы и в различные операционные среды;

•стандартность - программное обеспечение соответствует опубликованному стандарту независимо от конкретного разра­ ботчика ПО;

•наращиваемость возможностей - включение новых про­ граммных и технических средств, не предусмотренных в перво­ начальном варианте;

•совместимость - возможность взаимодействовать с други­ ми комплексами на основе развитых интерфейсов для обмена данными с прикладными задачами в других системах.

Примером открытой среды является модель OSE (Open System Environment), предложенная комитетом IEEE POSIX. На основе этой модели Национальный институт стандартов и технологии США выпустил документ «Application Portability Profile (АРР). The U.S. Government's Open System Environment Profile OSE/1