Примеры решения задач

Пример 1. По двум бесконечно длинным параллельным проводам текут в одинаковом направлении токи силой и . Расстояние между проводами d=10см.

Определить магнитную индукцию в точке А (рис. 7), удалённой от первого провода на расстояние =10 см. и от второго провода на расстояние =15см.

Рис. 7

Решение. Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция в точке А равна сумме векторов магнитных индукций полей, созданных каждым током в отдельности:

, (1)

где и . На рис. 7 проводники с токами и - перпендикулярны плоскости чертежа ( токи направлены от наблюдателя). Векторы и

изображены на рисунке так, что их направление связано с направлением соответствующих токов правилом правого винта. Векторы и в точке А направлены по касательной к силовым линиям (пунктирные кривые).

Модуль вектора на основании теоремы косинусов равен:

, (2)

где α – угол между векторами и . Из рис.2 видно, что углы α и β равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Из треугольника со сторонами , и d по теореме косинусов на ходим :

Вычислим отдельно:

.

Подставляя выражение для и в формулу (2) и вынося за знак корня, получаем:

Выразим все величины в единицах СИ: ; ; ; ; ; .

Произведём вычисления:

.

Пример 2. По проводнику, согнутому в виде прямоугольника со сторонами а = 8см и b=12см, течёт ток силой I= 5А. Определить магнитную индукцию в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

Решение. Согласно принципу суперпозиции магнитных полей

, (1)

где - магнитные индукции полей, создаваемых токами, протекающими по каждой стороне прямоугольника (рис. 8).

b

Рис.8

В точке О пересечения диагоналей все векторы индукции направлены перпендикулярно плоскости прямоугольника. Кроме того, из соображений симметрии следует, что и

. Поэтому векторное равенство (1) заменим скалярным:

, (2)

где и - индукции магнитных полей, создаваемых соответственно токами, текущими по сторонам длиной b и а. Используя формулу для магнитной индукции поля, создаваемого отрезком прямого проводника с током

,

получим

. (3)

Из рис. 8 следует, что

и . (4)

Подставив формулы (3) и (4) в равенство (2), после алгебраических преобразований получим

.

Проверим, даёт ли расчётная формула единицу магнитной индукции. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы измерений:

Выразим все величины в единицах СИ: , , , , .

Произведем вычисления

Пример 3. Тонкий провод длиной ℓ=20 см изогнут в виде полукольца и помещён в однородное магнитное поле с индукцией так, что плоскость полукольца перпендикулярна линиям индукции. По проводу пустили ток силой . Определить силу, действующую на провод. Подводящие провода направлены вдоль силовых линий магнитного поля (Рис. 9).

Y

Рис. 9

Решение: Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кольца, а ось OY была бы расположена симметрично относительно концов провода (рис. 9).

Разобьем провод на элементарные участки и выделим элемент длиной , где R- радиус полукольца. Согласно закону Ампера на элемент тока со стороны магнитного поля действует сила

или . (1)

Линии магнитной индукции на рис. 9 перпендикулярны плоскости чертежа и направлены « к нам » (обозначены точками). По условию задачи , поэтому в векторном произведении (1) . Следует заметить, что на подводящие провода сила действует, так как угол между направлением тока и вектором равен нулю.

При переходе от одного элемента полукольца к другому направление элементарной силы непрерывно меняется. Поэтому разобьем вектор на две составляющие и . В силу симметрии составляющие действующие на симметричные элементарные участки полукольца, взаимно уравновешиваются и результирующая сила будет направлена вдоль оси OY. Поэтому полная сила, действующая на проводник, будет равна

, (2)

где - проекция элементарной силы на ось OY.

Так как и , то

. (3)

При интегрировании по полукольцу угол  меняется от 0 до , поэтому с учётом (3) выражение (2) примет вид

.

Производя интегрирование и учитывая, что R= l/, получаем

. (4)

Выразим все величины в единицах СИ: l=0,2 м, , I=0,5А. Произведём вычисления:

.

Пример 4. Виток радиусом R=3 см, по которому течёт ток силой I=5А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией В=0,2Тл. Силовые линии поля перпендикулярны плоскости витка. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте витка на угол 90^о вокруг оси, совпадающей с диаметром витка. Считать, что при повороте витка сила тока в нём поддерживается постоянной.

Решение. На виток с током помещённый в магнитное поле, действует вращающий момент (рис. 10)

, где

- магнитный момент витка,  - угол между векторами и . В начальном положении согласно условию задачи виток свободно установился в магнитном поле, следовательно и совпадают по направлению, т.е. α =0 и М=0. Чтобы повернуть виток на некоторый угол α, внешние силы должны совершить работу против момента сил Ампера, так как он стремится возвратить виток в исходное положение. Так как момент сил переменный и зависит от угла поворота α, то

или dA= .

Взяв интеграл от этого выражения, найдём работу, совершаемую при повороте витка на конечный угол:

Рис. 10

Так как и , то

. (2)

Проверим, даёт ли расчётная формула единицу работы. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы измерений:

1 A м^{2 .} 1 Тл = 1А ^. 1м²

Произведём вычисления:

Задачу можно решить и другим способом. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна

где Ф₁ - магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения,

Ф₂ - то же после перемещения.

С учётом того, что в однородном магнитном поле получим и .

Следовательно, , что совпадает с (2).

Пример 5. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов , попал в однородное магнитное поле с индукцией В=5 мТл. Вектор скорости v направлен под углом к линиям индукции (рис. 11). Определить радиус R и шаг h, по которой будет двигаться электрон в магнитном поле.

Рис.11

Решение. На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца

или . (1)

Кинетическую энергию электрон приобретает за счёт работы сил электрического поля , поэтому имеем

Отсюда

(2)

Разложим вектор скорости на две составляющие и . Вектор направлен по линиям индукции; - перпендикулярно им.

Тогда

или , (3)

так как .

Составляющая скорости не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Составляющая скорости изменяется по направлению, так как сила , расположенная в плоскости перпендикулярной линиям индукции, сообщает электрону нормальное ускорение Следовательно, электрон участвует в двух движениях: равномерном вдоль оси ОХ со скоростью и равномерном по окружности в плоскости ZOX со скоростью , то есть будет двигаться по винтовой линии.

Так как сила Лоренца /см.(3)/ сообщает электрону нормальное ускорение а _n , то по второму закону Ньютона имеем:

или

Отсюда радиус винтовой линии

. (4)

Учитывая формулу (2), получаем

Шаг винтовой линии (смещение вдоль оси ОХ за время Т одного оборота)

,

где - период вращения электрона.

Учитывая формулу (4), получаем

.

Следовательно, шаг винта равен

.

Подставив в выражение (5) формулу для скорости (2), получим

Выразим все величины в единицах СИ: U=200 В, , , ,

Произведём вычисления:

Пример 6. В центре плоской круглой рамки, состоящей из N=50 витков радиусом R=20 см. находится маленькая рамочка, состоящая из N₂=100 витков площадью S=1 cм². Маленькая рамка вращается вокруг одного из диаметров большой рамки с постоянной угловой скоростью Найти максимальное значение ЭДС индукции, если в обмотке первой рамки течёт ток силой I=10А.

Решение. При вращении маленькой рамки непрерывно изменяется угол α между вектором и нормалью к плоскости рамки и, следовательно, изменяется магнитный поток Ф, пронизывающий маленькую рамку. В рамке возникает ЭДС индукции, мгновенное значение которой по закону Фарадея, равно

(1)

где - потокосцепление.

Так как размеры маленькой рамки малы по сравнению с размерами большой рамки, то поле в пределах маленькой рамки можно считать однородным. Магнитную индукцию В этого поля можно выразить через индукцию поля в центре круговых витков с током

(2)

Для однородного поля магнитный поток, пронизывающий маленькую рамку, равен Ф=ВScosωt.

С учётом того, что при вращении рамки с постоянной угловой скоростью мгновенное значение ЭДС индукции:

.

Максимальное значение ЭДС индукции равно

.

Учитывая формулу (2), получим

.

Выразим все величины в единицах СИ: R=0,2м, S=10^-4м² , I=10А, ω = 300 рад/с, ,

Пример 7. Контур в виде квадрата со стороной а=10см находится в однородном магнитном поле с индукцией В=0,5мТл так, что его плоскость составляет угол β=30⁰ с силовыми линиями поля. Какой заряд протечёт по контуру при включении магнитного поля? Сопротивление контура R=1мОм.

Решение. При выключении магнитного поля магнитный поток Ф, пронизывающий контур, меняется. В контуре возникает ЭДС индукции, мгновенное значение которой по закону Фарадея равно

Мгновенное значение силы индукционного тока определяется по закону Ома

За время dt по контуру протечёт заряд

.

Проинтегрировав это выражение, найдём полный заряд

Рис. 12

Для однородного магнитного поля начальный магнитный поток равен , где α – угол между вектором и нормалью к плоскости контура (рис. 12); - площадь квадрата. Из рисунка видно, что . Следовательно, . Конечный магнитный поток . Таким образом,

Проверим, даёт ли расчётная формула единицу заряда. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы измерений:

Пример 8. Обмотка длинного соленоида с железным сердечником содержит N=600 витков. Длина сердечника ℓ=40см. По обмотке течёт ток силой I=1А. Определить магнитную проницаемость железа при этих условиях и объёмную плотность энергии магнитного поля в сердечнике.

Решение. Используя соотношение , находим магнитную проницаемость железа

Рис. 13

Напряжённость магнитного поля длинного соленоида равна

.

Произведя вычисления, получим

.

По графику зависимости магнитной индукции В от напряжённости поля Н (рис. 13) находим, что напряжённости соответствует индукции Таким образом, магнитная проницаемость железа будет равна

Объёмная плотность энергии магнитного поля в сердечнике вычисляется по формуле

.

Пример 9. Разность потенциалов между обкладками конденсатора ёмкостью С=0,5 мкФ в колебательном контуре изменяется со временем по закону U= 100sin 1000πt В. Определить период собственных колебаний Т, индуктивность L, полную энергию контура и максимальную силу тока I_m, текущего по катушке индуктивности. Активным сопротивлением контура пренебречь.

Решение. Напряжение на конденсаторе изменяется по гармоническому закону , где U_m - амплитудное (максимальное) значение напряжения на обкладках конденсатора; - собственная круговая частота колебаний, которая связана с периодом соотношением

Период собственных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона , откуда

Полная энергия контура складывается из энергии электрического поля W_э конденсатора и энергии магнитного поля W_м катушки:

Полная энергия контура равна максимальной энергии поля конденсатора или максимальной энергии поля катушки . Таким образом

Зная полную энергию, можно определить максимальную силу тока, протекающего по катушке индуктивности;