Непрерывный контроль процесса достижеия цели - Гайдай А.А., Руссман И.Б

НЕПРЕРЫВНЫЙ КОНТРОЛЬ ПРОЦЕССА ДОСТИЖЕНИЯ ЦЕЛИ

Гайдай А.А., Руссман И.Б.

(Воронежский Государственный Университет)

В данной работе рассматривается проблема контроля за дея- тельностью системы, движущейся к поставленной цели. Пусть исполнительному объекту ставится задача (например, руково- дством предприятия) достичь к заданному моменту определённого значения какого-либо показателя (например, получить заданный доход или произвести требуемый объём продукции), после этого система начинает двигаться к цели по какой-либо траектории. Если выяснится, что достижение цели оказывается невозможным, то требуется обнаружить это как можно раньше и так изменить пара- метры цели, чтобы она стала достижимой. Это изменение может

выражаться в уменьшении количественной оценки планового результата, в увеличении времени на его достижение, или в том и другом одновременно. Задачей системы контроля будет являться оценка текущего состояния системы, объёма выполненных работ, риска невыполнения плана, а также близости состояния системы к критической области, откуда достижение цели будет невозможно при любых допустимых затратах. Помимо этого система контроля является одновременно и системой перепланирования.

Допустим, что за время tпл нам нужно добиться результата, количественное выражение которого есть Aпл . При этом известно,

что существует минимальная скорость производства результата во времени vmin и максимальная скорость vmax (см. рис.1). Важно

найти точки контроля за состоянием объекта, выполняющего рабо- ту, которые могут быть моментами времени, когда необходимо

принять решение об управляющем воздействии или пересмотре параметров цели. Если в процессе движения объект попадает в область, лежащую ниже прямой MN на рисунке, то достижение цели в заданное время станет невозможным, поэтому эта область становится запретной, и приближение к ней надо рассматривать

1

как угрозу невыполнения задачи. Контроль объекта должен быть организован таким образом, чтобы можно было вовремя вмешаться в деятельность объекта, если его состояние приближается к опас- ной зоне.

Организация системы контроля должна удовлетворять двум противоречивым требованиям: с одной стороны, точек контроля должно быть достаточно много, т.к. при отсутствии должного контроля мы можем оказаться в ситуации, когда что-либо менять уже поздно. С другой стороны, за проведение контроля приходится платить, поэтому точек контроля должно быть как можно меньше.

A

Рис.1.

В работах [1] и [2] рассматривается эта задача и способ её ре- шения, позволяющий найти моменты времени, когда необходимо проводить контроль состояния объекта. Рассмотрим видоизменён- ную постановку этой задачи, а именно: пусть контроль – это не

2

разовая операция, а непрерывная, и в каждый момент времени нам нужно принимать решение об «интенсивности» контроля на теку- щий момент. Наша задача состоит в том, чтобы для каждого мо- мента времени выяснить необходимую «жёсткость» проводимого контроля, т.е. требуемую точность оценки объёма выполняемой работы, а также скорости её выполнения. Побочным эффектом

решения данной проблемы будет возможность для любого момента времени узнать текущую трудность достижения цели, а также степень риска невыполнения плана. Поясним, что это означает.

Пусть v~(t) – оцениваемая мгновенная скорость движения

объекта к цели в момент t, v~(t) [vmin , vmax ]. Пусть она известна с некоторой точностью v(t) :

(2)v(t) = (vmax − vmin )δ(t) ,

δ(t) – относительная точность измерения скорости, δ(t) [0,1].

Именно эту величину мы и будем считать «интенсивностью» кон- троля, и наша задача будет состоять в нахождении этой величины как функции от времени t. Для любого момента t мы можем оце- нить текущую «трудность» (вероятность недостижения цели) следующим образом:

Здесь d(t) – трудность достижения цели в момент t, v* (t) - ми- нимальная постоянная скорость, с которой необходимо двигаться из текущей точки (t, A(t)), чтобы выполнить плановый объём

работ в срок (см. рис.1). Т.о., за вероятность достижения цели для текущей точки мы принимаем отношение длины отрезка возмож-

3

ных скоростей к длине отрезка приемлемых скоростей (двигаясь с которыми постоянно, можно выполнить задание не позже отведён- ного срока).

Тогда

можем найти соответствующую минимальную постоянную ско- рость, необходимую для достижения цели:

Для любого момента t будем задавать необходимую точность измерения скорости следующим образом:

(6)δ(t) = 1− d(t) .

Смысл этого выражения в том, что чем больше риск недости- жения цели в текущий момент времени, тем больше мы должны затрачивать усилий на контроль состояния объекта, т.к. объект приближается к опасной границе, выйдя за которую, он уже не

сможет выполнить поставленный объём работ за время tпл . Поэто-

му желательно в таких случаях знать состояние объекта с возмож- но большей точностью, чтобы, например, вмешаться в поведение объекта, скорректировать задание и т.п., если величина риска (трудность достижения цели) превысит некоторую заданную вели- чину. В то же время, если состояние объекта оценивается как впол-

4

Существует альтернативный подход к вычислению количест- венной оценки трудности достижения цели. Если μ (0,1] – без- размерная оценка качества некоторого ресурса (чем больше, тем лучше), а ε [0,1) – нижняя граница требований к качеству ресур- са, то трудность можно задать так (см. [3]):

=e(1 - m)

(13)d m(1 - e) ,

при этом d [0,1] при выполнении условия m ³ e , т.е. если ресурс

является допустимым. Заметим, что в формуле (3) мы не учитыва- ем ещё одну особенность рассматриваемой задачи. Из области, лежащей ниже прямой ON на рис.1, мы теоретически могли бы достичь цели в плановый срок. Тем не менее, минимальная ско- рость производства результата может пониматься как оценка на- дёжности объекта, движение с ещё меньшей скоростью может происходить в случае возникновения маловероятных чрезвычай- ных обстоятельств, которые могут привести к разрушению самого объекта. Именно поэтому количественная оценка риска должна возрастать также и при приближении объекта к отрезку ON. Тогда для рассматриваемой задачи с учётом вышеприведённого замеча- ния трудность может быть вычислена следующим образом:

дующую формулу для d(t):

d(t) = max(d1(t),d2 (t))

7

Подставляя в (14) вместо A(t) величину A(t) из (4), с учётом

~′ = ~

(6) и условия A (t) v (t) , мы можем получить дифференциальное

уравнение для данного вида оценки трудности. В виду громоздко- сти получающихся конструкций, мы не будем их здесь приводить.

В качестве возможного расширения данной задачи в её поста-

новку можно ввести управление и рассматривать два варианта задачи оптимального управления – с конечным числом точек кон- троля состояния объекта и с непрерывным контролем, где в качест-

ве цели будет рассматриваться минимизация затрат на достижение цели в отведённое время, и задача будет состоять в нахождении оптимальной траектории движения объекта к цели.

Литература

1.БАБУНАШВИЛИ, М.К., БЕРМАНТ М.А., РУССМАН И.Б.

Контроль и управление в организационных системах / Экономика и математические методы. М.: Наука, 1969. Том 5, вып. 2. С. 212-227.

2.БАБУНАШВИЛИ, М.К., БЕРМАНТ М.А., РУССМАН И.Б.

Оперативное управление в организационных системах / Экономика и математические методы. М.: Наука, 1971. Том 7, вып. 3. С. 377-

3.КАПЛИНСКИЙ А.И., РУССМАН И.Б., УМЫВАКИН В.М.

Моделирование и алгоритмизация слабоформализованных задач выбора наилучших вариантов систем. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1991.

– 168 с.

8