Оптимальные иерархические структуры - Воронин А.А., Мишин С.П

то есть неравенство a) определения 1.30. Следовательно, функционал (I) – выпуклый.

часть в неравенстве a) определения 1.32: P1 = P(g1, g2 ), для a Î g1

b) определения 1.32 доказывается аналогично с точностью до замены g1 на g2 . Следовательно, функционал (I) – существенно выпуклый. Утверждение доказано.

Утверждение 2.7. Последовательные организации одной группы f , в которых на первом месте стоит2 элемент максимальной сложности, оптимальны на Op ( f ) при

функционале (I).

Доказательство. Рассмотрим произвольную организацию

1Иначе можно изменить нумерацию групп g1 ,K, gk .

2Cм. опр. 1.33.

81

остальных элементов сохраним. Получим последовательную организацию G′. При этом стоимость организации групп g2 ,K, gk+1 изменится на стоимость организации соответствующих

последовательной организации стоит элемент с максимальной сложностью, то стоимость организации равна Pmin , то есть она оптимальна. Утверждение доказано.

В результате по поводу решения задачи об оптимальной организации одной группы f для функционала (I) можно сделать следующие выводы:

a.На Op ( f ) решением будет любая последовательная организация, в которой на первом месте стоит элемент максимальной сложности (см. утв. 2.7), то есть задача на этом множестве решена аналитически.

b.При β ³ 1, αβ ³ 1 и функции сложности вида (2.2) функционал

существенно выпуклый (см. утв. 2.6). Тогда (см. теор. 1.8) решение на Op ( f ) будет решением и на O( f ), O~( f ) , Or ( f ),

O~r ( f ), то есть в силу пункта a) задача на этих множествах решена аналитически.

c.При β ³ 1 функционал выпуклый (см. утв. 2.6). С учетом монотонности решение на D2 ( f ) будет решением и на O( f ),

O~( f ) , Or ( f ), O~r ( f ) (см. следствие 2 к теор. 1.5), то есть задача

82

на этих множествах решается с помощью алгоритмов поиска оптимального 2-дерева (см. гл. III).

d.При β £ 1 функционал вогнут (см. утв. 2.6), следовательно (см. теор. 1.6 и следствие) веерная организация оптимальна на O( f ) и O~( f ) , то есть задача на этих множествах решена аналитически. В силу монотонности решение на Dr ( f ) будет

решением и на Or ( f ) (см. следствие к теор. 1.4), то есть задача

на этих множествах решается с помощью алгоритмов поиска оптимального r -дерева (см. гл. III).

Таким образом, задача об оптимальной организации одной группы для функционала (I) во многих случаях решена аналитически, в остальных случаях решается с помощью алгоритмов поиска оптимального r -дерева.

По поводу решения задачи об оптимальной организации произвольного набора групп f = { f1,K, fm } для функционала (I)

можно сделать следующий вывод. При β ³ 1, αβ ³ 1 и функции сложности вида (2.2) функционал существенно выпуклый (см. утв. 2.6), следовательно (см. теор. 1.8) решение задачи на Op (f ) будет

решением и на O(f ), O~(f ), Or (f), O~r (f), то есть задача на этих

множествах решается с помощью алгоритмов поиска оптимальной последовательной организации (см. гл. IV).

На рис. 2.5 полученные результаты для функционала (I) и функции сложности вида (2.2) изображены схематично. По горизонтальной оси отложено значение α , по вертикальной – значение β . При β £ 1 – область с вертикальной штриховкой – на

O( f ) оптимальна веерная организация одной группы (функционал

– вогнутый). При β ³ 1 – область с перекрестной штриховкой – на

область с горизонтальной штриховкой – результат усиливается. В этом случае на O(f ) оптимальна последовательная организация. Если набор f = { f } состоит из одной группы, то на O( f ) оптимальна последовательная организация, в которой на первом месте стоит элемент максимальной сложности, остальные

83

расположены в любом порядке (правая часть графа в области с горизонтальной штриховкой).

Рис. 2.5. Оптимальные организации для функционала (I).

3. Вид оптимальной организации для функционала (II).

Утверждение 2.8. Функционал (II) при β ≤ 1 вогнут, а при функции сложности вида (2.2) и β > 1, α ³ 1 вогнут на наборах непересекающихся групп1.

Доказательство. Рассмотрим набор групп {g1,K, gk } и его произвольное разбиение на поднаборы {h1,K, hi } и {hi+1,K, hk },

1 В случае β >1, α ³1 можно подобрать пересекающиеся группы, при которых нарушается неравенство b) в опр. 1.30, а при α <1, β >1 можно подобрать и

непересекающиеся группы, обладающие тем же свойством. То есть утверждение неулучшаемо.

84

Если среди h1,K,hi нет пересекающихся групп и функция

Утверждение доказано.

Утверждение 2.9. Последовательная организация, в которой элементы расположены в порядке неубывания сложности1, оптимальна на Op ( f ) при функционале (II) с функцией сложности

вида (2.2) и параметрами β ≤ 1 или β > 1, α ³ 1.2 Доказательство. Рассмотрим оптимальную на Op ( f )

организацию G . В G элементы расположены в некотором порядке

Первое слагаемое P2 не превосходит первого слагаемого P1. Докажем, что при α ³ 1 для вторых слагаемых выполняется то же.

убывает. Имеем ξ (z) ³ 0 , то есть P2 £ P1 .

Остался случай α < 1, β ≤ 1. Для доказательства неравенства P1 ³ P2 рассмотрим разность этих величин как функцию от y и покажем ее неотрицательность:

1См опр. 1.33.

2При α <1, β >1 можно привести пример, при котором утверждение неверно. То

есть оно неулучшаемо.

85

ξ (y) = (zα + xα )β − (zα + yα )β + ((z + x)α + yα )β − ((z + y)α + xα )β

убывает до нуля при увеличении y от нуля до x . Имеем ξ (y) ³ 0,

перестроения, получим в итоге оптимальную на Op ( f )

организацию, в которой элементы расположены в порядке неубывания сложности. Утверждение доказано.

В результате по поводу решения задачи об оптимальной организации одной группы f для функционала (II) можно сделать следующие выводы:

a. На Op ( f ) при функции сложности вида (2.2) и β ≤ 1 или β >1,

α ³ 1 решением будет последовательная организация, в которой элементы расположены в порядке неубывания сложности (см. утв. 2.9), то есть задача на этом множестве решена аналитически.

b.При β ≤ 1 или при функции сложности вида (2.2) и β > 1, α ³ 1

функционал вогнут (см. утв. 2.8), следовательно в силу монотонности (см. теор. 1.6 и следствие) веерная организация оптимальна на O( f ), O~( f ) , то есть задача на этих множествах решена аналитически.

c.В силу монотонности решение на D( f ) и Dr ( f ) будет соответственно решением на O( f ) и Or ( f ) (см. теор. 1.4 и

следствие), то есть задача на этих множествах решается с помощью алгоритмов поиска оптимальных деревьев (см. гл.III).

86

оптимальной иерархии не зависит от масштаба сложностей. То

функционал (II) описывает, в частности, алфавитное кодирование. В силу монотонности решение на Dr ( f ) будет решением и на Or ( f ), то есть задача на этих множествах

представляется разумным использовать эти алгоритмы и в качестве эвристических при α ¹ 1 или β ¹ 1.

Рис. 2.6. Оптимальная организация для функционала (II).

На рис. 2.6 полученные результаты для функционала (II) и функции сложности вида (2.2) изображены схематично. По горизонтальной оси отложено значение α , по вертикальной –

организация одной группы (функционал – вогнутый). В этой же области на Op ( f ) оптимальна последовательная организация, в

которой элементы расположены в порядке неубывания сложности

87

(от “меньшего” к “большему”). При α < 1, β > 1 – белая область – функционал не является ни выпуклым, ни вогнутым1.

Аналитическое решение задачи в этой области на данный момент отсутствует. В пункте 3 §1 главы III (см. рис. 3.5) приведен пример использования алгоритмических методов решения, из которого можно сделать вывод, что в вышеуказанной области оптимальная

организация ведет себя сложным образом при изменении параметров α и β .

4. Вид оптимальной организации для функционала (III).

Утверждение 2.10. Функционал (III) – существенно выпуклый при β ³ 1.2

Доказательство. Сначала докажем выпуклость. Рассмотрим произвольный набор групп {g1,K, gk }, k ³ 3 и его разбиение на

доказательства неравенства P2 ≤ P1 достаточно показать, что:

x / z -1- y / z +1- x / y +1 = (xy + yz - y2 - xz) / yz = (x - y)(y - z)/ yz ³ 0,

что, очевидно, верно. Таким образом, функционал (III) –

1Можно подобрать сложности, при которых нарушаются оба неравенства в опр.

2При β <1 можно подобрать сложности, при которых нарушается неравенство а)

в опр. 1.30. То есть утверждение неулучшаемо.

3Иначе можно изменить нумерацию групп g1 ,K, gk .

4При z = 0 P1 = +¥ по определению функционала (III), следовательно выполнено неравенство P1 ³ P2 . Далее считаем z > 0 .

88

соответственно левая и правая части неравенства a) определения

неравенства b) определения 1.32 доказывается аналогично с точностью до замены g1 на g2 . Следовательно, функционал (III) – существенно выпуклый. Утверждение доказано.

Докажем две вспомогательные леммы и утверждение 2.11 с целью выяснения вопроса об оптимальной на Op ( f )

Лемма 2.2. При функционале (III) с функцией сложности вида (2.2) существует оптимальная на Op ( f ) последовательная

1 См. опр. 1.33.

89

j = 1, k . Следовательно, вместо P1 в P(G¢) входит следующая

Первое слагаемое слева не превосходит первого справа в силу z ≤ y . Неравенство для вторых слагаемых можно записать

следующим образом (x + y) /(x + z) ≤ y / z . Упростим выражение: xz + yz ≤ xy + zy , что выполнено в силу z ≤ y .

при необходимости вышеуказанные действия с числом k′ > k , в итоге придем в искомой организации. Лемма доказана.

Лемма 2.3. Для произвольных величин 1 £ u £ v при β ³ 1 и

+ ((1+ (u −1) / v)α −1)β − ((1+ (v −1) / u)α −1)β . Тогда выполнено

произвольном α > 0 . Численные эксперименты подтверждают выполнение леммы при β ³1 независимо от значения α > 0 . То есть можно предположить

справедливость леммы при 0 < α < 1, но строго эта гипотеза не доказана.

90