Оптимальные иерархические структуры - Воронин А.А., Мишин С.П

той области, в которой он не является ни выпуклым, ни вогнутым.

Сделаны эмпирические выводы о величине средней и максимальной погрешности, о нарастании погрешности при росте n (см. таблицы 3.7, 3.8, 3.9, рис. 3.7, 3.8). В результате тестирования можно сделать выводы о том, какой алгоритм предпочтительнее использовать для конкретного функционала. Еще раз подчеркнем, что проведенный эмпирический анализ относится к функционалу (II). Аналогичным образом

эвристические алгоритмы могут тестироваться и для других функционалов, но выводы могут отличаться от полученных для

(II).

Кроме того, в таблице 3.9 приведен пример эмпирического анализа самого функционала на классе деревьев D( f ). Из таблицы можно сделать вывод о том, насколько отличается стоимость деревьев, оптимальных на D2 ( f ) и Op ( f ) , от стоимости

оптимального на D( f ) дерева. Отличие стоимости веерной организации от стоимости оптимального на D( f ) дерева

иллюстрирует, насколько организация “наиболее простого вида” может быть дороже оптимальной. То есть приведен пример

разброса стоимости различных деревьев для конкретного функционала. Аналогичные численные эксперименты могут проводиться и на более сложных классах организаций.

Полученные с помощью такого анализа результаты могут помочь в выявлении некоторых закономерностей функционала (например, выпуклости или вогнутости).

141

Глава IV. Алгоритмы поиска оптимальной последовательной организации.

В данной главе рассматриваются методы решения задачи об оптимальной на Op (f) последовательной организации

произвольного набора групп f = { f1,K, fm }.

Согласно теореме 1.7 существует оптимальная на Op (f )

организация, которая не содержит повторяющихся групп. Ниже считаем, что в Op (f ) входят только такие организации. Найденные

подгруппа (см. лемму 1.4). В последовательной организации одной группы элементы “присоединяются друг к другу” в некотором порядке (см. опр. 1.33, рис. 1.8).

Рассматриваемые последовательные организации (без повторяющихся групп) не содержат пересечений, следовательно по теореме 1.8 для существенно выпуклых функционалов

найденное алгоритмами решение будет оптимальной организацией

ина множествах O(f ), Or (f), O~(f ), O~r (f).

В§1 оценивается сложность и строятся алгоритмы решения

задачи об оптимальной последовательной организации для функционала общего вида. В конце параграфа приводится пример, поясняющий изложенный материал. В §2 построенные алгоритмы модифицируются для решения задачи c функционалом вида P( g1 ,K, gk , g ) , который зависит не от состава подгрупп

g1,K, gk , организуемых в группу g , а лишь от их мощностей g1 ,K, gk , g . Например, для определенного в §2 главы II анонимного функционала с функцией сложности вида (2.2) требование P(C(g1),K,C(gk ),C(g)) = P( g1 ,K, gk , g ) эквивалентно условию равенства сложностей элементов: C(a1 ) = K = C(an ).

Также в §2 оценивается сложность задачи об оптимальной

последовательной организации с функционалом вида P( g1 ,K, gk , g ) (доказывается NP -полнота).

142

§1. Алгоритм решения общей задачи.

1.Эквивалентность задач о поддереве минимального веса

иоб оптимальной на Op (f ) организации.

Напомним, что вершинами графов G Op (f) могут быть произвольные группы элементов. Все множество групп обозначается через F (см. опр. 1.13). Выполнено F = 2N \ {Æ}, где

Определение 4.2. Назовем весом ребер графа H = (VH , EH ) функцию λ : EH ® R+ , которая определяется следующим образом.

На рис. 4.1 приведена схема графа задачи. Рассмотрим некоторое ребро e = (g, h) EH ′′ EH ′′′ , то есть любое ребро, кроме n нижних ребер. Тогда ребро e ведет из группы g в группу h = g {a}, где {a} – некоторая элементарная группа, не входящая

вg . То есть ребро e соответствует организации подгрупп {a} и g

вгруппу h . Вес λ(e) ребра e равен стоимости P({g},{a}) такой организации. Любой путь из вершины в некоторую группу g в

графе задачи соответствует некоторой последовательной организации одной группы g (определяет последовательность

элементов, см. опр. 1.33). Причем суммарный вес ребер пути равен стоимости организации.

143

P({a1},{a2 }) P({a1},{a4 }) P({an−2 },{an })

P({a1},{a3}) ......................................................................................

....................................................................................................

.................................................................................. P({an−2 },{an−1})

P({an−1},{an })

Рис. 4.1. Граф H = (VH , EH ) задачи об оптимальной последовательной организации.

Рассмотрим поддерево D графа задачи H с корнем в ,1 содержащее неэлементарные группы из f1,K, fm , листья которого

содержатся среди неэлементарных групп из f1,K, fm .2 Далее, если

не оговорено противное, под поддеревом понимаем поддерево указанного вида, не оговаривая каждый раз требования к поддереву.

Определение 4.3. Задачу поиска поддерева минимального веса назовем задачей об оптимальном поддереве в H . Под весом λ(D) поддерева D будем понимать сумму весов ребер D .

1Под поддеревом H с корнем в понимается подграф, в каждую вершину которого, кроме корня , входит ровно одно ребро.

2Считаем, что в наборе f1 ,K, f m есть хотя бы одна неэлементарная группа, иначе

оптимальна вырожденная организация, состоящая из изолированных элементарных групп.

144

f ={ f1,K, fm} следующим образом. Определим множество вершин

V = (VD {{a1},K{an }}) \ { }. В вершину g V , g ³ 2 в дереве

D входит одно ребро e = (h, g). Добавим к E ребра (h, g), (g \ h, g).

организацию набора групп f = { f1,K, fm }, причем P(G) = λ(D) .

Итак, каждому поддереву D графа задачи H соответствует одна и только одна последовательная организация G Op (f ),

причем стоимость организации равна весу соответствующего дерева. То есть задачи о последовательной организации

минимальной стоимости о поддереве минимального веса эквивалентны. Теорема доказана.

Следствие 2. Алгоритм, решающий задачу об оптимальной на Op ( f ) последовательной организации одной группы f ,

f = n ³ 3, для структурного функционала P общего вида должен

проанализировать n(2n−1 - (n +1) / 2) значений P. Доказательство. Выполнено f = N , так как организуется

только одна группа. По следствию 1 задача эквивалентна задаче о кратчайшем пути из в f в графе H . Вес каждого ребра

соответствует значению функционала, причем вес каждого ребра может быть выбран независимо от других, так же как и

функционал может быть определен на наборе подгрупп независимо от значений на других наборах. Докажем, что

алгоритм должен в общем случае проанализировать веса всех ребер H , кроме ребер вида ( ,{a}) .

Предположим, что существует алгоритм, решающий задачу и не анализирующий веса всех вышеуказанных ребер. Положим их

146

стоимости равными 1. Любой путь из Æ в f в H содержит ровно n ребер, вес любого пути равен n -1 (вес первого ребра вида ( ,{a}) нулевой). Алгоритм найдет некоторый путь, не проанализировав хотя бы одного ребра e. Если e не принадлежит пути, изменим его стоимость на 0, иначе на 2. В измененном графе будет найден тот же путь, что и в первом случае, так как измененное значение не анализировалось. Но он не будет

анализировать не менее n(2n−1 − (n +1) / 2) значений функционала. Алгоритм, который решает задачу, анализируя стоимости всех ребер, кроме ребер вида ( ,{a}) , строится очевидным образом.

Имея стоимости кратчайших путей до всех вершин данной мощности и просмотрев все выходящие из них ребра, найдем

стоимости кратчайших путей до всех вершин следующей мощности. И так далее. Следствие доказано.

Следствие 2 дает алгоритм решения задачи об оптимальной на Op ( f ) последовательной организации одной группы, требую-

щий n(2n−1 − (n +1) / 2) вычислений функционала стоимости, и показывает, что более эффективного алгоритма не существует.

Для решения задачи об оптимальной последовательной организации произвольного набора групп необходимо найти оптимальное поддерево H (см. теор. 4.1). Следующие два пункта посвящены решению этой задачи.

2. Нормализация графа задачи.

Преобразуем граф задачи H (см. опр. 4.1) в так называемый нормализованный граф задачи, из каждой вершины которого выходит не более двух ребер. После этого докажем

эквивалентность задач об оптимальном поддереве в исходном и

147

нормализованном графах. Алгоритм решения задачи об

оптимальном поддереве на нормализованном графе строится в следующем пункте.

обозначено множество вершин, в которые идут ребра из g в графе

оптимальном поддереве аналогично определению 4.3.

Рис. 4.2. Приведение к нормализованному графу задачи.

Описанное перестроение для k = 2q+1 изображено на рис. 4.2. Суть его состоит в следующем. “Вилку” из k ³ 3 ребер, выходящих из g , мы заменяем на “вилку” из двух ребер, идущих в дополнительные вершины, из которых в свою очередь выходит не

148

более двух ребер, и так далее, в итоге “дойдем” до вершин g1,K, gk , в которые в первоначальном графе шли ребра из g . То

есть каждое ребро (g, gi ) , i = 1, k заменилось на некоторый путь из g в gi , проходящий через добавленные вершины. Причем вес пути равен весу первоначального ребра (g, gi ) .

Утверждение 4.1. Задача об оптимальном поддереве в H

им ведущие в них в графе H norm ребра 1 и соответствующие вер- шины, и так далее, пока не добавим идущие из g ребра. Получим

графа H , причем по построению λ(D′) = λ(D).

Итак, каждому поддереву H norm соответствует поддерево H такого же веса и наоборот, что и доказывает утверждение.

1 В каждую такую вершину ведет ровно одно ребро по построению H norm .

149

3. Построение алгоритма. Оценка сложности.

Доказательство следующей теоремы представляет собой алгоритм решения задачи об оптимальном поддереве в нормализованном графе H norm = (Vnorm , Enorm ) . Как и для графа

задачи H , через R(g) будем обозначать вершины H norm , в которые идут ребра из g Vnorm .

Теорема 4.2. Существует алгоритм, решающий задачу об оптимальном поддереве в H norm = (Vnorm , Enorm ) путем сравнения

которых выходит ровно два ребра.

Доказательство. Искомое поддерево должно содержать все группы набора f = { f1,K, fm }. Обозначим L = 2f \ { }. То есть L

– множество непустых поднаборов набора { f1,K, fm}. Поднаборы будем обозначать через s L. Рассмотрим s L и g Vnorm . Через λ(g,s) обозначим минимальный вес поддерева графа H norm с корнем в g , которое содержит все вершины набора s, листья которого содержатся среди вершин s. Если соответствующего дерева не существует, положим λ(g,s) = +¥ .

Пусть R(g) = 0, то есть из g ребер не выходит. Если g f , то λ(g,s) = +¥ для любого s L. Если g f , то λ(g,{g}) = 0, λ(g,s) = +¥ для любого s ¹ {g}.

Соответствующее λ(g,s) поддерево строится как объединение ребра e и поддерева веса λ(h,s). Если g f , то для любого s L, g s имеем λ(g,s) = λ(h,s) + λ(e); а для любого s L, g s , s ¹ {g} имеем λ(g,s) = λ(h,s\{g}) + λ(e), так как g уже содержится в корне дерева. Для оставшегося случая s = {g} имеем λ(g,{g}) = 0.

величине λ(g,s), некоторый набор s1 s содержится в поддереве с корнем в h1, набор s2 = s \ s1 (или s2 = s \ (s1 {g}), если g s )

150