Оптимальные иерархические структуры - Воронин А.А., Мишин С.П

вершины v V \ NG определена величина P(ZG (v)) , так как звено ZG (v) входит по меньшей мере в один из графов Ω . Положим по определению P(G) = åv V \NG P(ZG (v)). Докажем, что построенное продолжение функционала является искомым. Рассмотрим

P(G) = åP(ZG (v)) = åP(ZH (v)) + åP(ZS (v)) = P(S) + P(D)

При доказательстве того, что из аддитивности следует локальность, равенство P(G) = P(H ) + P(S) (см. опр. 1.10) было использовано лишь для случая, когда S – звено, а не произвольный слой. Следовательно, такое определение аддитивности эквивалентно определению 1.10. Теорема 1.1 дает

критерий возможности представления функционала в виде суммы стоимостей отдельных звеньев: при сложении частей стоимости должны складываться, стоимость вырожденных графов должна быть нулевой.

4. Подчиненные группы. Структурная эквивалентность.

назовем множество вершин, которые являются начальными хотя бы в одном из графов Ω .1 Элементы будем обозначать через a N .

Определение 1.13. Множеством групп назовем множество F всевозможных непустых конечных подмножеств N . Группу g назовем элементарной, если она состоит из одного элемента:

1 Множество элементов может быть бесконечным.

31

g = {a}, a N . Мощностью группы g назовем количество содержащихся в ней элементов g .

Определение 1.14. Для любого графа G = (V , E) Ω и любой вершины v V множество начальных вершин, подчиненных v , обозначим через gG (v) и назовем подчиненной группой.

Выполнено gG (v) NG N , то есть gG (v) F . Элементы можно интерпретировать как нижний уровень NG графа G , над

которым надстраивается структура управления – иерархия. Каждая вершина v V управляет подчиненной группой элементов gG (v).

который проходит хотя бы через одну из вершин vi (только из

K gG (vk ) . Если начальная вершина u подчинена вершине v′, а

та, в свою очередь, подчинена вершине v′′, то из u существует путь в v′′ и u gG (v′′). То есть gG (v′) gG (v′′) . Лемма доказана.

32

сохраняющий подчиненные группы. То есть существует взаимно

Поясним определение структурной эквивалентности на примере. Пусть иерархии D1 = G1 Ω и D2 = G2 Ω структурно эквивалентны. Рассмотрим начальную вершину u NG1 . Ей в

графе G1 подчинена только она сама, то есть gG1 (u) = {u}. Выполнено λ(u) NG2 , так как в соответствующие вершины

должны входить соответствующие ребра, а в u ребер не входит.

Имеем gG2 (λ(u)) = {λ(u)} = gG1 (u) = {u}, то есть λ(u) = u . Итак, выполнено NG1 = NG2 , причем соответствие начальных вершин

тождественно. Оставшиеся части графов G1 и G2 могут отличаться только “переименованием” вершин с сохранением структуры подчинения.

Рассмотрим графы G1 и G2 , изображенные на рис. 1.3.

Аналогично gG1 (8) = gG2 (13) = {4,5,6}. Вершины 9 и 14 управляют одной и той же группой gG1 (9) = gG2 (14) = {1,2,3,4,5,6} с помощью

управления одними и теми же непосредственно подчиненными подгруппами {1,2,3} и {4,5,6}. Таким образом, нашлись графы G1 и G2 , в которых слои D1 и D2 имеют “одну и ту же структуру подчинения”, то есть структурно эквивалентны. Обозначим результат 9-упрощения G1 через H1, 14-упрощения G2 – через H2 . Субиерархии H1 и H2 имеют “разные структуры подчинения”, то есть не являются структурно эквивалентными, что и приводит к отсутствию структурной эквивалентности G1 и G2 , несмотря на эквивалентность D1 и D2 .

33

Рис. 1.3. Пример графов G1, G2 (слева направо).

5. Простые и структурные функционалы.

Определение 1.16. Функционал P назовем простым, если его

можно аддитивно продолжить на множество Ω (см. опр. 1.10) так,

чтобы для любых структурно эквивалентных графов D1, D2 Ω выполнялось P(D1) = P(D2 ) .

Таким образом, аддитивный функционал прост, если его значение одинаково для графов с “одинаковой структурой подчинения”. То есть “переименование” любых управляющих (неначальных) вершин графа не приводит к изменению стоимости, так как сохраняется структура подчинения начальных вершин.

аргументов – набором групп2 – и не зависит от графа G и порядка групп gG (v1),K, gG (vk ).

Теорема 1.2. Простой функционал стоимости структурен.

Доказательство. По определению простого функционала

продолжим его на Ω и докажем структурность P. По теореме 1.1

1Здесь и далее одной и той же буквой P обозначается как стоимость графов из

Ω, так и стоимость наборов групп, что не приводит к путанице в силу различия аргументов функционалов.

2В наборе могут быть повторяющиеся группы.

34

Обозначим QG (v) = {v1,K,vk } и положим по определению P(gG (v1 ),K, gG (vk )) = P(ZG (v)) ³ 0. Пусть для некоторого графа

величина P(gG (v1),K, gG (vk )) определяется набором групп и не зависит от графа G . Изменение порядка записи вершин v1,K,vk никак не влияет на значение P(ZG (v)) , то есть P(gG (v1),K, gG (vk )) не зависит от порядка групп. Теорема доказана.

Определение 1.18. Множество Ω назовем вершинно определенным, если любой вершине v соответствует одна и та же подчиненная группа g в любом графе G = (V , E) Ω, который

содержит v : v V , gG (v) = g .

Неформально выражаясь, множество Ω вершинно определено, если каждой вершине во всех графах подчинена одна и та же группа. Следующая теорема уточняет теорему 1.2 для вершинно определенных множеств Ω .

Теорема 1.3. На вершинно определенном множестве Ω функционал стоимости прост тогда и только тогда, когда он структурен.

Доказательство. Простота влечет за собой структурность на любом множестве Ω в силу теоремы 1.2. Докажем обратное для вершинно определенного множества. Предположим, что функционал структурен. Рассмотрим произвольный граф

35

не от графа G . Если ZD (v) Ω , то положим по определению P(ZD (v)) = P(g(v1),K, g(vk )). Тогда для всего графа D определим P(D) = åv V \ND P(ZD (v)). Аналогично доказательству теоремы 1.1

можно показать, что построенное продолжение функционала аддитивно (см. опр. 1.10). Рассмотрим структурно эквивалентные

на пары соответствующих звеньев с одинаковой стоимостью. Следовательно, P(D1) = P(D2 ) . Теорема доказана.

Если множество Ω не является вершинно определенным, то найдется вершина v , которой в различных графах подчинены разные группы. Множество подчиненных групп имеет вид {gG (v) : G = (V , E) Ω, v V}. В этом случае можно перейти к множеству Ω′, в графах которого вместо вершины v будут присутствовать новые вершины, определяемые подчиненными группами: {vG′ = (v, gG (v)) : G = (V , E) Ω, v V}. Множество Ω′ уже будет вершинно определенным. Если функционал структурен на Ω , то он, очевидно, структурен и на Ω′. Таким образом, по теореме 1.3 функционал прост на Ω′.

Для исследования класса простых функционалов достаточно исследовать класс структурных (см. теорему 1.2). Теорема 1.3 показывает, что изучение класса структурных функционалов также и необходимо, так как любой структурный функционал в общем случае может быть простым.

Данная работа посвящена исследованию структурных функционалов. Настоящий параграф позволяет содержательно интерпретировать требование структурности: если при “сложении частей” в иерархию их стоимости складываются, стоимость вырожденной иерархии нулевая и при замене (переименовании) управляющих (неначальных) вершин стоимость не меняется, то

функционал прост и излагаемые ниже методы могут быть использованы для решения задачи об оптимальной иерархии.

36

Ниже (см. п.4 и п.5 §1 гл. II) приводятся примеры задач с неструктурным функционалом, что иллюстрирует необходимость изучения таких функционалов. Остальные примеры главы II показывают, что структурными функционалами описываются разнообразные задачи. Глава II в целом иллюстрирует применение

полученных в работе общих методов исследования структурных функционалов для анализа частных задач.

§2. Редукция общей задачи к задаче об оптимальной организации.

1. Графы организации.

Определение 1.19. Ориентированный конечный ациклический граф G = (V , E) , в котором множество вершин V может содержать повторения, назовем графом организации над множеством элементов N , если выполнены следующие условия:

a) в вершинах графа находятся группы элементов, то есть для

вершин G . Будем говорить, что группа g V \ NG организуется из подгрупп множества QG (g).

c) Любая группа g NG элементарна. Множество NG не

содержит повторяющихся групп.

Все множество графов организации (организаций) над множеством элементов N обозначим через O(N).

1 Множество QG (g) может содержать повторяющиеся группы.

37

определениях 1.2-1.6. Ниже будем пользоваться этими обозначениями.

Лемма 1.2. Любой граф G = (V , E) Ω после замены всех

Вершины графа G не повторяются, следовательно после замены в начальных вершинах не будет повторяющихся групп. Рассмотрим вершину v V \ NG . Пусть вершине v непосредственно подчинены

вершины v1,K,vk , то есть QG (v) = {v1,K,vk }. Тогда по лемме 1.1 имеем gG (v) = gG (v1 ) K gG (vk ). Лемма доказана.

Определение 1.20. Отображение O : Ω → O(N) определим как замену всех вершин графа G Ω подчиненными им группами. По лемме 1.2 O действительно отображает Ω в O(N). Множество образов Ω обозначим через O(Ω) O(N).

Лемма 1.3. Иерархии из Ω , переводящиеся отображением O в один граф, структурно эквивалентны и в случае структурного функционала имеют одинаковую стоимость.

Доказательство. Пусть графы G1 и G2 отображением O

группы g VD в графе G1 один и только один прообраз (VD может содержать повторяющиеся группы). То же касается и графа G2 . Таким образом, λ – взаимно однозначное соответствие V1 и V2 . Условие (v′,v′′) E1 эквивалентно условию (gG1 (v′), gG1 (v′′)) ED ,

которое, в свою очередь, эквивалентно условию (λ(v′),λ(v′′)) E2 . То есть λ – изоморфизм G1 и G2 . Кроме того, для любой v V1

1 При этом несколько вершин могут замениться на одинаковые группы, что приведет к появлению повторений во множестве вершин, а не к отождествлению совпадающих групп.

38

i = 1, k . Следовательно, и в P(G1) , и в P(G2 ) присутствуют одни и

заданным на Ω структурным функционалом (см. опр. 1.17), в противном случае задана произвольно. Вместо P(g1,K, gk ) будем

также использовать обозначение P(QG (g)) .

Поясним определение. В зависимости от множества Ω величина P(g1,K, gk ) может быть определена не на всех наборах

групп из F , а только на тех, которые встречаются в графах O(Ω). На остальных наборах определим P(g1,K, gk ) ³ 0 произвольным образом, так, чтобы величина P(g1,K, gk ) не изменялась при перестановках групп g1,K, gk .

Итак, считаем функционал структурным. Тогда прообразы

любого графа организации структурно эквивалентны и имеют одинаковую стоимость (см. лемму 1.3). По определению 1.21 для любого графа G Ω выполнено P(G) = P(O(G)). То есть

стоимость организации из O(Ω) и стоимости всех ее прообразов

совпадают. Следовательно, для поиска оптимальной на Ω

иерархической структуры достаточно найти оптимальную организацию на O(Ω) O(N), после чего найти любой из ее

39

прообразов в Ω . Таким образом, задача об оптимальной иерархии трансформируется в задачу об оптимальной организации.

В дальнейшем в работе считается заданным функционал стоимости на O(N) (см. опр. 1.21) и решается задача об оптимальной организации на различных подмножествах O(N), что

позволяет решать задачи об оптимальной иерархии на соответствующих множествах Ω для структурных функционалов.

2. Оптимальная организация набора групп.

Множество O(N) содержит, в частности, вырожденные графы (то есть графы, состоящие из изолированных элементарных групп) нулевой стоимости. Поэтому решение задачи об оптимальной организации на всем множестве O(N) тривиально.

В общем случае множество исследуемых организаций O(Ω) может иметь сколь угодно сложную структуру. В задачах, интересных с математической точки зрения, структура множества O(Ω) ”достаточно проста” в том смысле, что для любого графа

Содержательно условие O(Ω) = O(f ) означает, что ставится задача поиска оптимальной организации среди тех, которые

40