4.4. Применение методики оценки э.У. Активов

4.4.1. Сценарное дерево и действительное распределение вероятности

Как было продемонстрировано на простых примерах в Разделе 3 данной статьи, ключе­выми шагами процедуры оценки э.у. активов являются выбор подходящего сценарного дерева и определение скорректированного на риск распределения вероятности событий, соответствующих узлам этого дерева.

В данной подборке статей мы ограничиваем себя рассмотрением лишь таких сценарных деревьев, которые предназначены для отслеживания динамики ценового прогноза на единственный товар. В первой статье в роли такого товара выступал природный газ. В данной статье, а также в следующей, таким товаром является нефть. В используемых нами моделях стохастические сдвиги ценовых прогнозов идеально коррелируют на протяжении каждого малого промежутка времени. Поэтому сдвиги прогноза в течение каждого задан­ного малого промежутка времени пропорциональны единственной случайной переменной. Можно считать, что этой переменной является последний сдвиг ценового прогноза, приходящийся на конец данного промежутка времени.

Изменение каждого прогноза в течение любого малого промежутка времени считается пропорциональным самому этому прогнозу в начале рассматриваемого промежутка вре­мени, причём коэффициент пропорциональности, называемый пропорциональной неопре­делённостью прогноза, зависит только от момента времени, когда делается прогноз, и от его горизонта. Таким образом, значение пропорциональной неопределённости в любой момент времени для каждого данного прогноза само по себе не является случайной величиной.

Сценарное дерево, которое необходимо построить для работы с такими моделями, является обобщением дерева, приведённого на Рис.1. На каждый промежуток времени приходится одна дополнительная единица новой информации, а единственными переменными, имеющими значение, являются только сами ценовые прогнозы. Более того, события на дереве могут быть обозначены именами узлов «материнского» дерева или же просто соответствующими реализованными значениями цены. Так, шаг за шагом, события на дереве могут быть промаркированы уже осуществившимися к заданному моменту времени ценовыми сценариями.

Для подобных сценарных деревьев и вероятностных процессов, заданных на их основе, имеется хорошо разработанная теория, которая в пределе (при выборе бесконечно малого интервала времени между двумя последовательными событиями) описывает непрерывные изменения цены⁵. Если предположить, что колебания ценовых прогнозов складываются под влиянием множества малых воздействий, то случайную переменную, описывающую изменения прогноза на коротком интервале времени, следует считать нормально распре­делённой⁶. Изменения прогноза будут непрерывными, если дисперсия этой нормально распределённой переменной имеет порядок, совпадающий с порядком длительности про­межутка времени, в течение которого происходит данное малое изменение. При величине дисперсии такого порядка получается, что величины изменений ценового прогноза имеют порядок квадратного корня длины промежутка времени, за который происходит изме­нение. Следовательно, если длина промежутка времени стремится к нулю, то скорость из­менений становится очень большой, а их траектория представляет собой последователь­ность краткосрочных случайных скачков вверх-вниз и напоминает ежедневные временные ряды изменений цен на нефть или на другие активы. Такую модель ценовых изменений называют «диффузной моделью», потому что прогноз имеет свойство рассеиваться («диффундировать») во времени непрерывным образом (хотя и демонстрируя мелкое «дрожание»), в противоположность тем моделям, где прогноз изменяется мгновенно значительными скачками.

Если мы выберем некоторый узел на сценарном дереве в качестве начального события и просуммируем все случайные изменения прогноза на протяжении некоторого заданного периода времени, то получим распределение возможных значений цены в конце этого периода, а также распределение будущих сценариев развития событий, берущих своё начало в конце этого периода. Так как в наших моделях все изменения прогнозов пропорциональны самим прогнозам, полученное вероятностное распределение имеет логнормальный вид. Этот факт был использован в Приложении В к первой статье данной подборки при выводе формул для ассоциированных ковариаций полученного распреде­ления, а также формул для условных ценовых прогнозов и доверительных интервалов ценовых распределений, представленных на графиках, приведённых в первой и второй статье⁷.