Контрольные вопросы

1. Что является критерием оптимальности согласованного фильтра?

2. Пересчитайте свойства согласованного фильтра.

3. Как определяется пиковое отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра?

5. Применение согласованных фильтров в демодуляторах сигналов аим-м

Рассмотрим совместно схемы модулятора и демодулятора сигналов АИМ-М (рис. 5.1). Схема модулятора строится на основе описания канальных символов сигналов АИМ-М

, (5.1)

где А(t) – импульс с определенными частотными и временными характеристиками;

a_i – коэффициент, отображающий переданные биты.

На схеме КМК – кодер модуляционного кода, который вырабатывает коэффициенты a_i на основе входного цифрового сигнала – на каждом тактовом интервале блока из n = log₂M бит ставится в соответствие коэффициент a_i. Этот коэффициент подается на вход формирующего фильтра (ФФ) сигналом a_i(t). ФФ формирует импульс a_iА(t).

Схема демодулятора построена на основе материала предыдущих разделов. На вход согласованного фильтра поступает сумма сигнала и помехи a_iА(t) + n(t). Согласованный фильтр ослабляет помеху, и на его выходе имеет место полезный сигнал a_iР(t) и помеха (t). Дискретизатор берет отсчет и выдает оценку коэффициента a_i. Максимальное значение импульса P(t) в момент отсчета равняется 1, поэтому  = a_i +  (оценку можно рассматривать как коэффициент z₀ представления сигнала z(t) в одномерном пространстве относительно базисной функции А(t)). Дискретизатор управляется последовательностью импульсов от схемы тактовой синхронизации (ТС), что обеспечивает взятие отсчетов в моменты максимального отношения сигнал/шум. На основе полученной от дискретизатора оценки схема решения (СР) выносит решение о номере переданного канального символа и выдает решение двоичными символами согласно модуляционному коду.

Поскольку формирующий фильтр возбуждается -функцией, то амплитудный спектр импульса A(t) равняется АЧХ ФФ

S_A(f) = H_ФФ(f). (5.2)

Амплитудный спектр импульса Р(t) определяется

S_P(f) = S_A(f)H_СФ(f), (5.3)

где H_СФ(f) – АЧХ фильтра, согласованного с импульсом A(t).

Импульс на выходе СФ Р(t) должен удовлетворять условию отсутствия межсимвольной интерференции (МСИ), поэтому потребуем, чтобы спектр S_P(f) был спектром Найквиста N(f):

S_P(f) = N(f). (5.4)

Воспользуемся свойством СФ: его АЧХ совпадает с амплитудным спектром сигнала, с которым он согласован (при с = 1)

H_СФ(f) = S_A(f). (5.5)

Учитывая равенства (5.2)...(5.5) приходим к выводу, что

H_ФФ(f) = H_СФ(f) = . (5.6)

Говорят, что АЧХ ФФ и СФ описываются зависимостью «корень квадратный из спектра Найквиста».

Обычно спектр Найквиста описывают зависимостью «поднятый косинус»

N(f) = (5.7)

где Т – тактовый интервал;

f_н = 1/(2Т) – частота Найквиста;

 – коэффициент ската спектра.

Зависимость «корень квадратный из спектра Найквиста» описывается

= (5.8)

На рис. 5.2 показаны зависимости N(f) и при  = 0,4. Из рис. 5.2, б видно, что формирующий и согласованный фильтры являются фильтрами нижних частот, но со специальной АЧХ. Если в качестве ФФ и СФ использовать фильтры Баттерворта, Чебышева и др., синтезированные с целью приближения их АЧХ к П-образной, то не будет выполняться условие отсутствия МСИ.

Рисунок 5.2 – Спектры: а – Найквиста; б – корень из спектра Найквиста

Выражение для импульса A(t) можно получить как обратное преобразование Фурье от зависимости , считая, что фазовый спектр тождественно равен нулю:

(5.9)

Функцию P(t) можно получить как обратное преобразование Фурье от N(f), считая, что фазовый спектр тождественно равен нулю:

P(t) = . (5.10)

На рис. 5.3 показаны графики импульсов A(t) и P(t) при  = 0,4. Из графика P(t) видно, что его амплитудное значение равно 1. А это значит, что при передаче импульса a_iА(t) отсчет на выходе дискретизатора равен a_i. Из рис. 5.3 видно, что импульс P(t) принимает нулевые значения при t = kТ (k = 1, 2, 3,…), т.е. удовлетворяет условию отсчетности. Импульс A(t) не принимает нулевые значения при t = kТ (k = 1, 2, 3, …).

Определим энергию импульса A(t), что необходимо в дальнейшем анализе,

. (5.11)

Результат получен, исходя из того, что интеграл равняется площади под кривой, описываемой подынтегральной функцией (рис. 5.2, а). Поскольку функция N(f) имеет кососимметричный скат, то эта площадь равняется площади прямоугольника высотой Т и основанием f_н = 1/(2Т). Полученное значение позволяет легко определять энергию сигнала :

. (5.12)

Для дальнейшего анализа необходимо также значение средней мощности шума на выходе СФ, АЧХ которого описывается зависимостью , при условии, что спектральная плотность мощности шума на входе СФ N₀/2

. (5.13)

При интегрировании использован тот же подход, что и при вычислении интеграла (5.11). Значение СКО шума на выходе СФ равняется

. (5.14)

Учитывая (5.12) и (5.14), легко убедиться, что отношение сигнал/шум в момент отсчета

(5.15)

соответствует свойству согласованного фильтра (4.9).