Контрольные вопросы

1. Запишите и объясните формулу вероятности ошибки канального символа в двоичной системе передачи.

2. Объясните, что представляет собой величина .

3. Объясните, какие упрощения допускают при анализе помехоустойчивости многопозиционных сигналов.

12. Вероятность ошибки при оптимальной демодуляции двумерных сигналов цифровой модуляции

При анализе помехоустойчивости двумерных сигналов может возникнуть одна из двух ситуаций.

1. Линия, которая соединяет сигналы s_i и s_j, входящие в формулу (11.9), совпадает с одной из осей координат пространства сигналов. В этом случае вероятность ошибки в двоичной системе, использующей сигналы s_i и s_j, определяется формулой (11.6), как и в случае одномерных сигналов.

2. Линия, которая соединяет сигналы s_i и s_j, входящие в формулу (11.9), не совпадает ни с одной из осей координат пространства сигналов (рис. 12.1). На этом рисунке показаны шумовые компоненты оценок: и , где _с и _s – гауссовские независимые величины с нулевым средним и СКО – формула (5.14). На основе рис. 12.1 условие возникновения ошибки – вынесение решения о передаче , если было передано s_i

P _ош(s_i, s_j) = Р { > d/2}, (12.1)

где  = _с cos  +_s cos (90– ) гауссовская случайная величина. Ее дисперсия

. (12.2)

Таким образом, и в случае ситуации 2 вероятность ошибки (12.1) определяется формулой (11.6), как и в случае одномерных сигналов.

Упражнение 12.1. Найдем вероятность ошибки для многопозиционного двумерного сигнала ФМ-4 (рис. 12.2): координаты канальных символов а, а расстояния между ближайшими символами d = 2a. Энергии канальных символов одинаковые . Энергия сигнала на бит

. (12.3)

Из рис. 12.2 видно, что достаточно учесть переходы лишь в два ближайших канальных символа, поэтому, учитывая формулу (11.6)

. (12.4)

Учитывая формулы (11.10) и (12.4), получим выражение для вероятности ошибки двоичного символа при ФМ-4

. (12.5)

У пражнение 12.2. Найдем вероятность ошибки для многопозиционного сигнала ФМ-М. Точки сигнального созвездия находятся на окружности радиуса а с угловым шагом 2/М. Ясно, что достаточно учесть переходы лишь в два ближайших канальных символа. На рис.12.3 приведен фрагмент созвездия сигнала ФМ‑М. Выразим расстояние между ближайшими точками через радиус окружности. Поскольку d/2 = asin(/M), то d = 2a sin(/M). Энергии канальных символов одинаковые: Е = а². Энергия сигнала на бит определяется и расстояние .

Используя формулы (11.10) и (12.4), получим выражение для вероятности ошибки двоичного символа при ФМ-М для М  4

. (12.5)

У пражнение 12.3. Найдем вероятность ошибки для многопозиционных двумерных сигналов КАМ-16 (рис. 12.4). Возьмем одну из четырех точек, которые размещены возле начала координат. Для любой из них видно, что достаточно учесть переходы лишь в четыре ближайших канальных символа, поэтому, учитывая формулу (11.6)

. (12.6)

Найдем среднюю энергию канального символа

Е_ср = (42а² + 810а² + 418а²)/16 = 10а². (12.7)

Энергия сигнала на бит определяется и расстояние .

Используя формулы (11.10) и (12.6), получим выражение для вероятности ошибки двоичного символа при КАМ-16

. (12.8)

Можно получить общую формулу вероятности ошибки бита для сигналов КАМ-М (М  16) при условии, что log₂M является четным числом

. (12.9)

У пражнение 12.4. Найдем вероятность ошибки для двоичного сигнала ЧМ-2 (рис. 12.5): координаты канальных символов равны а, а расстояние между символами d =  a. Энергии канальных символов одинаковые .

По формуле (11.6) получим

. (12.10)

Полученные в разд. 11 и 12 формулы позволяют определить вероятности ошибки бита р при заданном отношении сигнал/шум или необходимое отношение сигнал/шум при заданной вероятности ошибки бита. Анализ помехоустойчивости удобно проводить, используя графики зависимости р = f ( ) (рис. 12.6). При построении графика отношение сигнал/шум принято выражать в децибелах и использовать для него линейный масштаб. Для вероятности ошибки используют логарифмический масштаб.

Из приведенных на рис. 12.6 данных вытекает, что наивысшая помехоустойчивость свойственна сигналам ФМ-2 и ФМ-4.