2.7 Спектральне представлення дискретних сигналів

Нагадаємо, що відповідно до класифікації сигналів, наведеної у підрозд. 2.1, сигнал називається дискретним, якщо кількість значень t, у які сигнал заданий, скінчена або значення t можна пронумерувати. Звичайно крок за часом, через який сигнал подається, постійний і називається він інтервалом дискретизації T_д. Найчастіше дискретний сигнал з’являється в результаті дискретизації за часом неперервного за часом сигналу, тобто подання його відліками (рис. 2.7).

Представлення сигналу відліками широко використовується з метою передавання аналогових сигналів цифровими каналами зв’язку, а також для виконання перетворень аналогових сигналів пристроями дискретної та цифрової обробки.

Описом дискретного сигналу є послідовність чисел {s(nT_д)}, де n – дискретний час. Часто для зручності послідовність позначають s(nT_д), хоча таке ж позначення s(nT_д) є значенням послідовності в момент nT_д. Ще одним варіантом позначення є відповідний індекс біля позначення сигналу .

Н ад послідовностями так само, як і над аналоговими сигналами, виконують різні арифметичні операції. Основним математичним апаратом для аналізу перетворень дискретних сигналів лінійними дискретними й цифровими системами є апарат лінійних різницевих рівнянь і z-перетворення. Цей математичний апарат викладено у відповідній літературі.

Для теорії й техніки зв’язку важливими є спектральні характеристики дискретного сигналу. Спектральну густину дискретного сигналу визначають за допомогою перетворення Фур’є, вважаючи, що дискретний сигнал представлений δ-імпульсами (рис. 2.7, б)

. (2.50)

Знайдемо перетворення Фур’є дискретного сигналу s(nT_д), для чого підставимо (2.50) у (2.40). Спектральна густина дискретного сигналу

. (2.51)

Змінюючи порядок інтегрування й підсумовування та враховуючи фільтруючу властивість дельта-функції, отримаємо

. (2.52)

Співвідношення (2.52) визначає спектр дискретного сигналу s(nT_д). Оскільки функції періодичні за частотою  з періодом 2/(nT_д), то з останнього виразу видно, що функція S_д(j) періодична в частотній області з періодом 2/T_д. Вираз (2.52) за виглядом збігається з виразом (2.38) для подання періодичної функції часу рядом Фур’є в комплексній формі. Розглядаючи (2.52) як розвинення функції S_д(j) в ряд Фур’є, слід вважати, що значення s(nT_д) є коефіцієнтами розвинення функції в ряд. Використаємо вираз (2.39) для розрахунку коефіцієнтів розвинення:

. (2.53)

Співвідношення (2.52) і (2.53) називаються відповідно прямим і зворотним перетворенням Фур’є послідовності або дискретного сигналу s(nT_д).

Обчислення спектра послідовності s(nT_д) за допомогою виразу (2.52) припускає складання нескінченного числа членів. Реально для аналізу спектра дискретного сигналу використовують послідовності скінченої довжини N (тривалості NT_д). Припустимо, що послідовність періодично повторюється з періодом NT_д. Як відомо, спектр періодичного сигналу містить лише складові з частотами kf₁ =k/(NT_д) (k називають цифровою частотою). Тому в співвідношенні (2.52) замість  слід писати 2kf₁ = 2k/(NT_д). Перепишемо (2.52) в загальноприйнятому вигляді

. (2.54)

Щоб виразити s(n) через S(k), помножимо обидві частини рівності (2.54) на і просумуємо по k

. (2.55)

Змінюючи в правій частині порядок підсумовування, розглянемо суму

(2.56)

Справді, у випадку n = m e⁰ = 1 і сума дорівнює N. У випадку n  m сума відліків комплексної експоненти на інтервалі зміни її аргументу, рівному n – m періодів, дорівнює нулю.

З врахуванням (2.56) для правої частини (2.55) справедлива рівність

. (2.57)

Підставляючи (2.57) в (2.55) і переходячи до n замість m, одержимо

. (2.58)

Вводять позначення . Тоді співвідношення (2.54) і (2.58) запишуться

; (2.59)

. (2.60)

Співвідношення (2.59) і (2.60) є відповідно прямим і зворотним дискретним перетворенням Фур’є (ДПФ). ДПФ передбачає періодичність дискретного сигналу з періодом NT_д. Періодичним є і спектр цього сигналу з періодом 2/Т_д так само, як і спектр неперіодичного дискретного сигналу. Програмно пряме і зворотне ДПФ реалізують за алгоритмом швидкого дискретного перетворення Фур’є (FFT – Fast Fourier Transform), який дозволяє суттєво скоротити час обчислення у порівнянні з безпосереднім використанням виразу ДПФ.

Якщо ДПФ застосовано для сигналу, що насправді не є періодичним, то його результат є вірним для діапазону частот (0, /Т_д), а результати для (/Т_д, 2/Т_д) відповідають значенням з (–/Т_д, 0).