2.5 Спектральний аналіз періодичних сигналів

Для розкладання сигналів у ряди найбільш широке застосування в теорії й техніці зв'язку має тригонометричний базис (базисними функціями є гармонічні коливання). Широке застосування гармонічних коливань у теорії й техніці зв'язку обумовлене тим, що при проходженні через лінійні електричні кола форма кожної з них не змінюється – змінюються лише їхні амплітуди й фази (з’являється зсув у часі).

Ряд Фур’є для періодичного сигналу записується

. (2.36)

де f₁ = 1/T, T – період сигналу s(t);

Якщо ввести позначення

, ,

то ряд (2.36) прийме вид

. (2.37)

Розкладання сигналу (2.36) і (2.37) називають рядом Фур’є в тригонометричній формі. Більш зручно користуватися рядом (2.37), оскільки він безпосередньо встановлює, з яких гармонічних складових складається сигнал – які значення їхніх частот nf₁, амплітуд А_n і початкових фаз _n. Ряд (2.37) визначає спектр сигналу (синонімом слова "спектр" є "складові").

Наочне представлення про спектр сигналу (2.37) дають два рисунки, на яких будують амплітудний спектр – залежність амплітуд А_n від частоти й фазовий спектр – залежність початкових фаз _n від частоти. Частота f₁ називається основною частотою сигналу, вона дорівнює числу періодів сигналу в секунду. Гармонічні коливання із частотами nf₁ (n = 2, 3, ...) називають гармоніками сигналу s(t): 2f₁ – 2-я гармоніка, 3f₁ – 3-я гармоніка й т.д. Приклад амплітудного спектра деякого сигналу наведено на рис. 2.5.

Амплітудний спектр дозволяє визначити ширину спектра сигналу F_max, як протяжність області частот, куди потрапляють складові, сумарна енергія яких становить певну частку від повної енергія (наприклад, 95% або 99%). В інших випадках ширину спектра визначають як протяжність області частот, поза якою амплітуди складових не перевищують деяке задане значення (наприклад, 0,05 від максимального значення серед А_n). Якщо спектр сигналу, що розглядається, примикає до нульової частоти, то ширину спектра сигналу виражають числом F_max. Визначивши F_max, уважають, що сигнал не містить частот вище F_max у тому розумінні, як це оговорено в умові визначення ширини спектра.

Спектральне подання періодичного сигналу можна виконати, використовуючи експонентні базисні функції

, n = ..., –1, 0, 1, 2, ...

При цьому ряд записується

. (2.38)

Таке розкладання сигналу називається рядом Фур'є в комплексній формі.

Коефіцієнти розкладання визначаються

, n = ..., –1, 0, 1, 2, ... (2.39)

Легко переконатися, що

.

Особливістю ряду Фур'є в комплексній формі є компактний запис ряду й коефіцієнтів розкладання. Іншою особливістю є використання від’ємних частот.

Спектри, що відповідають ряду (2.38), називаються двосторонніми. Дільник 2 в останньому виразі пов'язаний саме з тим, що двосторонній спектр містить удвічі більше складових.

2.6 Спектральний аналіз неперіодичних сигналів

Співвідношення

і (2.40)

становлять пару перетворень Фур’є – пряме й зворотне перетворення. Функція S(j) називається спектральною густиною сигналу. У загальному випадку спектральна густина S(j) є комплексною функцією. Вона визначається на інтервалі (, ). Представимо її через модуль і аргумент .

Функція S() називається амплітудним спектром сигналу, а функція () – фазовим спектром сигналу. Функція S() – парна функція частоти, тому зазвичай на графіках цю функцію зображують для невід’ємних частот (рис. 2.6). Ширину спектра неперіодичного сигналу F_max визначають аналогічно визначенню ширини спектра періодичного сигналу.

Багато сигналів мають парну симетрію (це досягається шляхом відповідного вибору початку відліку часу). У таких сигналів спектральна густина – дійсна функція

. (2.41)

У силу парності функції S() зворотне перетворення Фур'є

. (2.42)

Останні два інтеграли становлять пару косинус-перетворень Фур'є.

Принципова відмінність спектрів полягає в тому (рис. 2.5 і 2.6), що у неперіодичного сигналу спектр суцільний, а у періодичного – дискретний, він містить гармоніки частоти f₁ = 1/T.

Перехід від ряду Фур'є до перетворення Фур'є здійснюють шляхом припущення, що неперіодичний сигнал є умовно періодичним з періодом Т→0, тоді частота вже не є дискретною і стає неперервним параметром перетворення (2πnf₁→ω), знак суми перетворюється в знак інтегралу.

У ряді випадків корисним є використання дельта-функції (одиничного імпульсу) (t). Спектральна густину дельта-функції (t – t0)

, (при t₀ = 0 (j) = 1). (2.43)

Використовується також дельта-функція у частотній області ( – ₀), зворотне перетворення Фур’є якої

. (2.44)

Тобто, 2( – ₀) є спектральною густиною комплексної експоненти .

Використовуючи приведені вище властивості дельта-функції, можна знайти спектральну густину гармонічного коливання s(t) = Acos(0t + 0)

. (2.45)

Таким чином, використання дельта-функції дозволяє визначати спектральну густину періодичного сигналу, який не задовольняє умові абсолютної інтегруємості.

Апарат перетворення Фур'є є досить ефективним математичним засобом для рішення багатьох задач теорії й техніки зв’язку. Відзначимо лише деякі найбільш використовувані властивості перетворення Фур'є.

1. Добуток двох сигналів (загальний випадок):

(2.46)

– множенню сигналів у часовій області відповідає згортка їхніх спектрів.

2. Згортка сигналів

(2.47)

3. Розрахунок енергії сигналів

(2.48)

– це співвідношення називається рівністю Парсеваля.

4. Скалярний добуток сигналів:

. (2.49)

Прирівнюючи останнє співвідношення до нуля, одержимо умову ортогональності сигналів, заданих спектральними густинами.