2.2 Енергетичні характеристики неперервних детермінованих сигналів

Основними енергетичними характеристиками сигналу s(t) є його потужність і енергія. Миттєва потужність дійсного сигналу визначається як квадрат миттєвого значення s(t):

p(t) = s²(t), В². (2.4)

Визначена таким чином функція p(t) має розмірність – квадрат розмірності сигналу s(t). За замовчуванням функція s(t) є напругою, тоді розмірність функції p(t) В² (Вольт в квадраті). Потужність сигналу, визначена у відповідності до (2.4), характеризує інтенсивність сигналу, його спроможність діяти на прилади, пристрої, що реєструють сигнал. Потужність сигналу є його характеристикою, і лише¹.

Середня потужність сигналу скінченої тривалості визначається шляхом усереднення (2.4) на інтервалі існування сигналу (0, T_s)

. (2.5)

Енергія сигналу кінцевої тривалості визначається

. (2.6)

З останнього співвідношення видно, що енергія сигналу враховує як інтенсивність сигналу, так і час його дії, відповідно розмірність вольт в квадраті секунда.

Для періодичного сигналу його середня потужність визначається шляхом усереднення (2.5) на одному періоді Т

, (2.7)

а межі інтегрування вибираються за зручністю обчислень. Говорити про енергію періодичного сигналу або іншого сигналу, що не є скінченим за тривалістю, не має сенсу. Але для таких сигналів може бути визначена енергія на деякому кінцевому інтервалі (t₁, t₂) (наприклад, на одному періоді періодичного сигналу, на інтервалі спостереження сигналу тощо)

. (2.8)

Потужність та енергія комплексного сигналу s(t) визначаються співвідношеннями (2.4)...(2.8), у які замість s²(t) необхідно підставити s(t)·s*(t) = s(t)², де s*(t) – функція, комплексно спряжена із s(t); s(t) – модуль сигналу s(t).

Сигнал називається нормованим, якщо його енергія

Е_s = 1. (2.9)

Поряд з функцією часу s(t), яка повністю визначає сигнал, у ряді випадків має значення інша часова характеристика – кореляційна функція сигналу. Для дійсного сигналу скінченої тривалості вона визначається

, (2.10)

де  – часовий зсув, який приймає як додатні, так і від’ємні значення. При  = 0

К_s(0) = Е_s. (2.11)

Для періодичного сигналу з періодом Т, енергія якого нескінченно велика, використовується наступне визначення

. (2.12)

Функція K_s пер () – періодична з періодом Т, а

K_{s пер}(0) = P_s. (2.13)

Крім властивостей (2.11) і (2.13) зазначимо, що кореляційна функція дійсного сигналу є парна функція аргументу :

K_s() = K_s(), K_{s пер}() = K_{s пер}(). (2.14)

Це стає очевидним, якщо добуток s(t)s(t + ) розглядати як добуток s(t – )s(t).

Для комплексного сигналу s(t) кореляційна функція визначається співвідношеннями (2.10) і (2.12), в які замість s(t)s(t + ) підставляється s(t)s*(t + ).

Кореляційна функція сигналу характеризує міру зв’язку (кореляції) сигналу s(t) зі своєю копією, що зсунута на величину  по осі часу – більш детально це буде обговорюватися у подальших розділах на прикладах випадкових сигналів.

Є два сигнали s₁(t) і s₂(t). Для них уводиться поняття взаємної кореляційної функції

, (2.15)

і скалярний добуток

, (2.16)

З останніх співвідношень видно, що .

Якщо скалярний добуток сигналів , то сигнали є ортогональними. Набір попарно ортогональних сигналів називають системою ортогональних сигналів. Ортогональність сигналів дозволяє легко їх розділяти – тобто з їх суми виділити будь-який сигнал (модуль 3).

Розглянемо визначення енергетичних характеристик для П-імпульсу (рис 2.2). Аналітично запис П-імпульсу:

(2.17)

Середня потужність і енергія визначаються співвідношеннями (2.5) і (2.6):

. (2.18)

Кореляційна функція сигналу визначається співвідношенням (2.10). Нехай 0 <  < T_s. Тоді

і

.

Коли   T_s K_s () = 0. З урахуванням властивості парності кореляційної функції остаточний вираз набуває вид

(2.19)

Графік кореляційної функції П-імпульсу наведено на рис. 2.2.