5.2 Вибір форми канальних символів

Розглядаючи ЦС з погляду передавання інформації, відзначимо, що інформація відображена в амплітудах імпульсів, а не в їхній формі. Тому форму імпульсу-переносника необхідно вибирати за спектральними й іншими характеристиками.

Показаний на рис. 5.1 ЦС в абсолютній більшості випадків не підходить для безпосереднього передавання навіть низькочастотними каналами зв’язку, насамперед, через його спектральні властивості. На рис. 5.1 елементарним сигналом, що використовується для подання символів, є П-імпульс. Нехай А(t) – П-імпульс амплітуди 1

(5.2)

символ 1 представляється імпульсом аА(t), а символ 0 – імпульсом з нульовою амплітудою. Для опису П-імпульсу в співвідношенні (5.2) заради обчислювальних зручностей початок відліку часу вибрано посередині імпульсу. Знайдемо спектральну густину функції А(t):

. (5.3)

Амплітудний спектр функції А(t) визначається

. (5.4)

На рис. 5.2 наведено графік нормованого амплітудного спектра S_А(f)/Т. Спектр П-імпульсу зменшується вкрай повільно поза смугою частот, де зосереджена основна частка енергії імпульсу, – зі швидкістю 1/f. Якщо намагатися передавати каналом зв'язку П-імпульси зі збереженням їхньої форми, то смуга пропускання каналу зв’язку повинна бути значно більшою, ніж 1/Т. З метою економії смуги частот каналу зв’язку необхідно відмовитися від передавання символів імпульсами П-подібної форми – імпульс аА(t) повинен мати згладжену форму. Справді, імпульс є переносником числа а, і при використанні імпульсів довільної форми, але з амплітудою а, досить зробити відлік амплітудного значення імпульсу, щоб визначити це число. Імпульсами згладженої форми можуть бути гауссовский імпульс, косинус-квадрат імпульс тощо.

Постає питання, а який імпульс кращий? Природно, що критерієм повинна бути мінімальна ширина спектра імпульсу. Але, чим вужчий спектр імпульсу, тим більша протяжність імпульс у часі. Ще раз підкреслимо, що після передавання імпульсу аА(t) каналом зв'язку буде взятий відлік його амплітудного значення, у якому відображена інформація. Оскільки в канал зв'язку імпульси надходять через інтервал Т, і відліки необхідно брати через цей інтервал, то необхідно зажадати, щоб відліки переддії й післядії імпульсу були нульовим, а в цілому імпульс А(t) повинен задовольняти умові (вважаємо, що амплітудне значення імпульсу має місце в момент часу t = 0)

(5.5)

Умова (5.5) називається умовою відліковості або умовою відсутності міжсимвольної інтерференції (МСІ). У результаті дискретизації імпульсу А(t), що задовольняє умові (5.5), утворюється дискретний сигнал А(n) = ..., 0, 0, 1, 0, 0, ... Спектральна густина цього дискретного сигналу визначається

. (5.6)

З іншого боку, спектральна густина дискретного сигналу є сума періодичних повторень із періодом 2/T спектральної густини S_А(j) неперервного сигналу А(t), з якого отримано дискретний сигнал шляхом узяття відліків (ф-ла (2.63а)):

. (5.7)

Отже, необхідно знайти функцію S_А(j), при якій сума її періодичних повторень із частотою 2/Т дає постійне значення, рівне 1. Це завдання легко вирішити, якщо накласти на функцію S_А(j) вимогу – вона повинна бути дійсною й мати косу симетрію навколо точки (Т/2, /Т). Ця вимога описується рівністю

, (5.8)

де _н = /Т – частота Найквіста.

Можна вказати нескінченну безліч функцій S_А(), що задовольняють умові (5.8). На рис. 5.3 наведені приклади функцій S_А() з косою симетрією. Графічно коса симетрія означає: якщо графік функції для значень  > _н повернути проти годинникової стрілки на 180 навколо точки симетрії (Т/2, _н), то він буде збігатися із графіком для значень  < _н.

З погляду формування імпульсу А(t) реальними фільтрами, які мають згладжений скат АЧХ, і відповідно згладженим буде скат спектра імпульсу, потрібно вибрати функцію S_А() виду рис. 5.3, в. Саме для функції виду рис. 5.3, в і побудований амплітудний спектр відліків імпульсу, що задовольняє умові відліковості (рис. 5.4): спектр відліків дорівнює 1, показані складові спектра (5.7) (штриховими лініями) зі значеннями m = –2, –1, 0, 1, 2.

Спектри імпульсних сигналів, що задовольняють умові відліковості (5.5), називаються спектрами Найквіста. Їх позначають як N(f). Найчастіше спектр Найквіста описують функцією

(5.9)

де f_н = 1/(2T) – частота Найквіста.

 – коефіцієнт ската спектра сигналу, .

Залежність (5.9) називається „піднятий косинус“. На рис. 5.5 наведені такі залежності для  = 0; 0,2; 0,5 i 1.

З рис. 5.6 видно, що ширина спектра імпульсу F_max = (1 + )f_н, а мінімально можлива ширина спектра дорівнює частоті Найквіста min[F_max] = f_н – це значення ще називають межею Найквіста. Таким чином, коефіцієнт  показує значення відносного розширення смуги частот сигналу в порівнянні з мінімально можливою смугою. Тому коефіцієнт  називають також коефіцієнтом розширення спектра сигналу. Таке розширення необхідно, тому що спектр формується фільтрами, а АЧХ реальних фільтрів мають перехідну смугу частот від смуги пропускання до смуги затримки скінченої (не нульової) довжини. Типові значення коефіцієнта  лежать у межах від 0,2 до 0,4.

Функцію А(t) можна одержати як зворотне перетворення Фур’є від N(f)

А(t) = . (5.10)

І мпульси А(t) називають імпульсами Найквіста. При розрахунках графіків імпульсів А(t) можуть виникнути невизначеності. Так, , коли x0; , коли 4f_нt1. На рис. 5.6 показані графіки імпульсів А(t) для  = 0; 0,5 і 1.

Вище розглянуто вибір імпульсу, коли передавання може вестися низькочастотним сигналом (спектр примикає до нульової частоти). Якщо спектр повинен бути смуговим, то використовуються радіоімпульси A(t) cos(2f₀t) і A(t) sin(2f₀t). Ці радіоімпульси можна розглядати як сигнали БМ, на основі чого можна стверджувати, що їхні амплітудні спектри мають дві бічні смуги частот, які є копіями спектра імпульсу A(t) (рис. 5.7). Якщо A(t) має спектр Найквіста, то смуга частот радіоімпульсу визначається F = 2(1 + )f_н.