3.7 Перетворення випадкових процесів лінійними електричними колами

Нагадаємо, що за визначенням лінійним колом називається таке, для кого виконується принцип суперпозиції – реакція кола на суму дій дорівнює сумі реакцій на кожну дію окремо.

П ри дослідженні проходження випадкових процесів через лінійні кола вважається, що відомі статистичні характеристики вхідного випадкового процесу x(t) та передатна функція лінійного кола H(j). Необхідно знайти характеристики вихідного процесу y(t) (рис. 3.10).

СГП процесу на виході лінійного кола зв’язана з СГП вхідного процесу через квадрат АЧХ кола

G_Y() = G_x()H ²(). (3.46)

Зокрема, якщо вхідний процес – білий шум, то СГП вихідного процесу повторює квадрат АЧХ лінійного кола.

КФ процесу на виході лінійного кола визначається як перетворення Фур'є від СГП процесу

K_y() = . (3.47)

Нехай для наочності x(t) – білий шум з однобічною СГП G_x(f) = N₀, 0  f < , подається на вхід ідеального ФНЧ з АЧХ

H(f) = (3.48)

де F_зр – частота зрізу ФНЧ. Тоді СГП процесу y(t):

G_y(f) = G_x(f)H²(f) = (3.49)

СГП процесу y(t) показано на рис 3.11, а. Шум з СГП такого виду називають квазібілим, оскільки він має частотні складові однакової амплітуди, але в обмеженому діапазоні частот.

КФ процесу y(t):

K_y() = N₀ F_зр . (3.50)

На рис 3,11, б показана нормована КФ R_Y() = K_Y()/K_Y(0). Інтервал кореляції процесу y(t) _к = 1/(2F_зр).

Середня потужність процесу y(t):

P_y = = (3.51)

В інженерних розрахунках часто виникає задача визначення потужності шуму на виході довільного лінійного кола (неідеального) за умови дії білого шуму з однобічною СГП N₀ на його вході¹. Для легкого вирішення цієї задачі одноразово визначається так звана шумова смуга кола, як інтеграл від квадрата нормованої АЧХ кола

F_ш = , (3.52)

де H_max – максимальне значення АЧХ.

За відомої шумової смуги P_y обчислюється виразом

P_y = N₀F_ш . (3.53)

У ідеального ФНЧ шумова смуга фільтра F_ш = F_зр.

Щодо розподілу ймовірностей процесу, що пройшов через лінійне коло, відомо наступне. Якщо на вході лінійного кола процес гауссів, то вихідний процес також гауссів – вид розподілу не змінюється, змінюються тільки його параметри. Якщо на вході кола процес не гауссів, то вид розподілу змінюється, і вихідний процес має розподіл імовірностей більш близький до гауссового, ніж розподіл вхідного процесу.

Фільтрація є вузькосмуговою, якщо смуга пропускання кола значно менша ширини спектра вхідного процесу. При вузькосмуговій фільтрації має місце явище нормалізації процесу, що полягає в наступному – незалежно від виду розподілу вхідного процесу, розподіл імовірностей процесу на виході кола є гауссовим. Доказ цього явища базується на центральній граничній теоремі теорії ймовірностей.

3.8 Перетворення випадкових процесів нелінійними електричними колами

Тут розглядаються лише безінерційні електричні кола, тобто такі, реакція яких на дію миттєво припиняється після її закінчення. Коло називається нелінійним, якщо для нього не виконується принцип суперпозиції. Варто відзначити, що присутність одного нелінійного елементу робить усе електричне коло нелінійним.

П ри дослідженні проходження випадкових процесів через нелінійні безінерційні кола вважається, що відомі статистичні характеристики вхідного процесу X(t) і залежність y = f(x) між миттєвими значеннями вхідного й вихідного процесів. Необхідно знайти характеристики вихідного процесу Y(t) (рис. 3.11).

Найпоширенішою функцією f(x) для опису нелінійних перетворень є поліном степеня n

f(x) = a₀ + a₁x + a₂ x² + ... + a_n xⁿ, (3.54)

де a₀, a₁, a₂,..., a_n – коефіцієнти полінома.

Коефіцієнти й степінь поліному визначаються в результаті апроксимації характеристики реального електричного кола або виходячи з деяких припущень. Крім поліноміальної залежності (3.54) використовуються й інші залежності.

Кожна із складових (3.54) вносить свій внесок у формування значень реакції нелінійного кола на вхідну дію. Так, a₀ описує появу постійної складової при х = 0; a₁x – лінійний доданок, що забезпечує пропорційне відображення значень х в y; a₂x² – квадратичний доданок, a₃x³ – кубічний доданок і т.д. забезпечують внески, пропорційні х², х³ і т.д.

Найпростіша дія – гармонічне коливання x(t) = A₁cos2f₁t. У цьому випадку сигнал на виході нелінійного кола буде наступним:

y(t) = a₀ + a₁A₁cos2f₁t + a₂A₁²cos²2f₁t + ... + a_n A₁ⁿcosⁿ2f₁t. (3.55)

Якщо скористатися формулами кратних аргументів, то одержимо

y(t) = Y₀ + Y₁cos 2f₁t + Y₂cos22f₁t + ... + Y_ncos2nf₁t, (3.56)

де Y₀ – постійна складова реакції;

Y₁, Y₂, ..., Y_n – амплітуди першої, другої, ..., n-ї гармонік реакції.

Таким чином, реакція на гармонічну дію містить постійну складову й гармоніки частоти дії – це принципово відрізняє нелінійні кола від лінійних, у яких нові складові не виникають.

У випадку бігармонічної дії

x(t) = A₁cos2f₁t + A₂cos2f₂t, (3.57)

підхід до визначення реакції такий самий, як і використаний вище – вираз для x(t) підставляється в поліном (3.54). При зведенні суми (3.57) у квадрат, куб і т.д. з’являться степені косинусоїд частот f₁ і f₂, що після перетворень дає вираз виду (3.56) для коливань частот f₁ і f₂. Але з’являються ще й добутки косинусоїд і їхніх степенів. Добуток косинусоїд приводить до появи складових сумарних і різницевих частот.

У загальному випадку будуть мати місце складові комбінаційних частот

f_комб =pf₁  qf₂, (3.58)

де p, q – цілі числа 0, 1, 2, ..., але такі, що p + q  n. Їхня сума N = p + q називається порядком комбінаційної частоти.

Так, якщо n = 3, то в спектрі реакції можуть бути складові частот f₁, f₂, 2f₁, 2f₂, f₁f₂, 3f₁, 3f₂, 2f₁  f₂, f₁  2f₂ і постійна складова. Амплітуди складових залежать від амплітуд А₁ і A₂ і коефіцієнтів полінома (3.54). Якщо амплітуди і фази складових дії на коло є випадковими, то, відповідно, випадковими будуть амплітуди і фази складових на комбінаційних частотах реакції.

Визначити СГП вихідного процесу G_Y(f) можна в такий спосіб: визначити спочатку КФ вихідного процесу K_Y(), а потім виконати над нею перетворення Фур’є. Виходячи з визначення КФ

(3.60)

де f(x) – функція, що описує нелінійне коло;

р₂(х₁, х₂, ) – двомірна густина імовірності вхідного процесу.

При проходженні випадкового процесу через нелінійне коло вид розподілу миттєвих значень істотно змінюється.

Н а рис. 3.10 показано довільну нелінійну залежність y = f(x). Всі значення процесу x(t), що попадають в інтервал x, відображаються в значення процесу y(t), що попадають в інтервал y. Тому справедлива рівність р(х)x  p(y)y. Переходячи до нескінченно малих приростів dx і dy, одержимо, що

p(y) = . (3.59)

Це і є загальне правило розрахунку густини ймовірності вихідного процесу.

Методи визначення характеристик вихідного процесу викладені. Звичайно, у конкретних випадках можуть зустрітися математичні труднощі.