3.4 Спектральна густина потужності стаціонарного випадкового процесу

При вивченні детермінованих сигналів для спектрального аналізу використовується перетворення Фур'є. Можна спробувати знайти перетворення Фур'є від k-ої реалізації процесу x_k(t) і знайти її спектральну густину як межу

. (3.32)

Однак спроба може виявитися безуспішною, оскільки при T   немає гарантії, що k-а реалізація задовольняє умові абсолютної інтегруємості. Якби межа інтеграла (3.32) для k-ї реалізації й існувала, то вона була б спектральною характеристикою лише k-ї реалізації, а не процесу в цілому.

Можна показати, що

, (3.33)

де пряма лінія означає усереднення по ансамблі реалізацій. Співвідношення (3.33) є не що інше, як перетворення Фур'є від КФ процесу. Оскільки КФ характеризує процес у цілому, те й ліва частина в (3.33) є спектральною характеристикою всього процесу. Її позначають як G_X().

Фізичний зміст функції G_X() легко з'ясувати, якщо врахувати, що S_k(j)² відповідно до рівності Парсеваля (2.45) характеризує розподіл енергії процесу по частоті. У результаті ділення цієї функції на T одержимо розподіл потужності процесу по частоті.

Співвідношення (3.33) можна переписати у вигляді прямого й зворотного перетворень Фур'є

(3.34)

На підставі (3.34) можна записати

. (3.35)

Нам вже відома властивість КФ K_X(0) = P_X, враховуючи її, стверджуємо, що функція G_X() дійсно характеризує розподіл потужності процесу по частоті на інтервалі (, ), а значення функції G_X() або G_X(f) дорівнює потужності процесу в смугах в 1 Гц навколо частот +f і f. У зв’язку зі сказаним функцію G_X() називають спектральною густиною потужності процесу (СГП). Таким чином, спектральна густина потужності й кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу зв'язані перетвореннями Фур’є. Це твердження відоме як теорема Хінчина-Вінера. Розмірність СГП В²/Гц, вона збігається з розмірністю енергії й, напевно тому, іноді функцію G_X() називають енергетичним спектром процесу.

Оскільки функції K_X() і G_X() парні, то замість пари перетворень (3.34) можна записати пару косинус-перетворень Фур’є, які, як правило, більш прості в обчисленнях, ніж співвідношення (3.34)

(3.36)

Знаючи функцію G_X(), можна визначити ширину спектра процесу тими самими способами, що і ширину спектра детермінованого сигналу, наприклад, як протяжність області додатних частот, поза якою значення функції не перевищують значення 0,1max{G_X()}. Якщо спектр примикає до нуля, то ширину спектра визначають величиною F_max (рис. 3.4, а), а якщо спектр смуговий, то ширину спектра визначають величиною F (рис. 3.4, б).

Оскільки функції G_X() і K_X() зв’язані перетворенням Фур’є, то відповідно до властивості перетворенням Фур’є зміни масштабу  і , чим менший інтервал кореляції процесу, тим ширший спектр процесу й навпаки. Інакше кажучи, інтервал кореляції й ширина спектра процесів обернено пропорційні величини, а їх добуток є величиною порядку 0,5:

τ_кF_max = 0,5.

3.5 Гауссів випадковий процес

Найбільш часто в теорії й техніці зв'язку зустрічається так званий гауссів (або нормальний) випадковий процес. Випадковий стаціонарний процес X(t) називається гауссовим, якщо його одновимірна й двовимірна густини ймовірності визначаються наступними виразами

, (3.37)

, (3.38)

де ² – дисперсія процесу;

а – середнє значення процесу;

R_Х() – значення нормованої кореляційної функції процесу.

Щоб визначити двовимірну густину ймовірності нормального випадкового стаціонарного процесу, досить знати лише його КФ. Таким чином, нормальні стаціонарні процеси можуть відрізнятися один від іншого видами КФ й, відповідно, СГП.

Одновимірна функція розподілу ймовірностей нормального процесу наступна

, (3.39)

де (3.40)

– гауссова Q-функція або доповнення до функції розподілу ймовірностей. Графіки функцій (3.39) і (3.40) наведені на рис. 3.5.

Гауссів смуговий процес зручно представити через квадратурні складові

, (3.41)

де A(t) і (t) – обвідна і фаза процесу;

X_c(t) і X_s(t) – квадратурні складові процесу;

₀ – деяка частота, що належить смузі частот процесу X(t).

Квадратурні складові – некорельовані процеси, що мають гауссів розподіл імовірностей, їхні дисперсії однакові й дорівнюють половині дисперсії процесу X(t).

Обвідна A(t) і фаза (t) також є некорельованими процесами. Обвідна A(t) має релеєвський розподіл імовірностей (рис. 3.6)

. (3.42)

У виразах (3.42) ² – дисперсія процесу X(t). Числові характеристики релеєвського процесу: середнє значення , дисперсія , середня потужність P_A = 2².

Фаза (t) має рівномірний розподіл імовірностей на інтервалі (0, 2) (рис. 3.7)

(3.43)

3.6 Білий шум

Білим шумом називається випадковий процес, СГП якого є постійною величиною

або , (3.44)

де N₀ – потужність процесу в смузі 1 Гц.

Визначенням (3.44) відповідають графічні залежності, наведені на рис. 3.8.

КФ білого шуму визначається як зворотне перетворення Фур'є від (3.44)

. (3.45)

На рис. 3.9 наведено графік КФ білого шуму.

За виразом (3.45) та рис. 3.8 бачимо, що інтервал кореляції прямує до нуля, тобто два значення білого шуму для яких τ ≠ 0 є незалежними. Очевидно, що білий шум має нескінченну потужність і фізично існувати не може, однак є зручною математичною моделлю, яка часто використовується в теорії і техніці зв'язку.