3.3 Числові характеристики і кореляційна функція випадкових процесів

Багато практичних задач, пов'язаних з випадковими процесами, можна вирішувати, використовуючи більш “грубі” характеристики процесів, ніж розподіли ймовірностей. Однієї з таких характеристик є середнє значення процесу (аналог математичного очікування випадкової величини). Середнє значення процесу – це рівень, навколо якого процес приймає свої значення. Його можна визначити, знаючи густину ймовірності процесу

. (3.14)

Аналогічно, інтеграл з нескінченними межами добутку будь-якої характеристики процесу і густини ймовірності дозволяє знайти середнє значення цієї характеристики. Так, середня потужність процесу – середнє значення квадрату процесу

. (3.15)

Середнє значення квадрату відхилень процесу від середнього значення називається дисперсією процесу

. (3.16)

Додатний корінь із дисперсії

(3.17)

називається середнім квадратичним відхиленням процесу.

Як видно із співвідношень для середніх значень (3.14)–(3.17), для стаціонарних процесів вони є постійними величинами.

Уведені середні значення характеризують процес тільки в один довільний момент часу й зовсім не стосуються зв'язку між значеннями випадкового процесу в різні моменти часу. Зв’язок між значеннями X(t) і X(t + ) ( – довільний зсув у часі) статистично оцінюється кореляційною функцією(КФ) процесу X(t), що обчислюється як середнє значення добутку

. (3.18)

Можна вказати ряд властивостей КФ довільних стаціонарних процесів.

1. Якщо в співвідношенні (3.18) покласти  = 0, то воно переходить у співвідношення (3.15), тому

. (3.19)

2. Оскільки КФ стаціонарного процесу не залежить від часу t, то середнє значення добутку , тому

– (3.20)

КФ випадкового процесу парна.

3. Розглянемо середній квадрат різниці значень процесу, інтервал часу між якими становить ,

(3.21)

Середній квадрат завжди додатний. Тому

– (3.22)

значення КФ будь-якого випадкового процесу при аргументі  = 0 максимальне.

4. Відповімо на запитання: наскільки відрізняються в середньому значення процесу, інтервал часу між якими становить ? Відповідь знаходиться у співвідношенні (3.21):

– (3.23)

чим більше відрізняється K_X() від K_X(0), тим більше в середньому відрізняються значення процесу, інтервал часу між якими становить . Оскільки швидкість зміни значень будь-якого процесу з обмеженою шириною спектра кінцева, то існує деяка залежність між цими значеннями процесу. Чим більше ця залежність, тим більшою мірою значення повторюють одне одного й тим менше . Таким чином, кореляційна функція K_X() випадкового процесу X(t) характеризує ступінь статистичного зв'язку між значеннями процесу, час між якими .

Очевидно, що з ростом  статистичний зв'язок між значеннями X(t) і X(t + ) зменшується й при досить великих  взаємозв'язок зникає. При цьому якщо середнє значення процесу дорівнює нулю, то , оскільки добутки мають рівні ймовірності бути додатними або від’ємними. Отже, якщо , то при    функція K_X() прямує до нуля, убуваючи монотонно або коливаючись навколо нуля, як показано на рис. 3.3, а. Якщо ж , то легко показати, що при    функція K_X() прямує до (рис. 3.3, б).

Порівнювати значення K_X() і K_X(0) для визначення статистичного зв'язку між значеннями процесу зсунутими за часом на  не зовсім зручно, тому що ці значення залежать від дисперсії процесу (властивості 1 і 4). Визначення статистичного зв’язку зручно проводити за нормованою кореляційною функцією

. (3.24)

Із співвідношення (3.22) випливає, що 1  R_X()  1. Чим ближче значення R_X() до 1, тим сильніше корельовані значення процесу зсунуті за часом на . Якщо R_X() = 0, то значення процесу зсунуті за часом на , не корельовані, незалежні.

Для грубого опису кореляційних зв’язків уводять поняття інтервал (час) кореляції процесу _к. Умовно вважать, що значення процесу, які зсунуті на   _к істотно корельовані між собою, а значення процесу, які зсунуті на  > _к, не корельовані або корельовані несуттєво. Інтервал кореляції визначають по-різному подібно тому, як оцінюється ширина спектра. Так, можна прийняти, що

. (3.25)

Тут геометрично _к дорівнює основі прямокутника з висотою R_X(0) = 1, що має ту ж площу, що й площа між кривою R_X() при  > 0 і віссю абсцис.

Час кореляції _к можна визначити й інакше – як тривалість функції R_X() при  > 0 на рівні, наприклад, 0,1.

Аналогічно визначенню КФ процесу вводиться взаємна кореляційна функція для характеристики зв’язку між значеннями двох випадкових процесів X(t) і Y(t), що зсунуті за часом на ,

, (3.26)

де – спільна густина імовірності значень стаціонарних процесів X(t) і Y(t), що зсунуті за часом на .

Стаціонарний випадковий процес називається ергодичним, якщо будь-які статистичні характеристики його, знайдені шляхом усереднення по ансамблю, збігаються з характеристиками, знайденими усередненням у часі однієї реалізації.

Середнє значення за часом позначають хвилястою лінією над залежністю, що усереднюється за часом. Так, середнє в часі значення процесу X(t) визначається усередненням за часом реалізації x(t)

(3.27)

Середня потужність процесу

. (3.28)

Дисперсія процесу

(3.29)

КФ ергодичного процесу визначається

. (3.30)

Два процеси X(t) і Y(t) називаються спільно ергодичними, якщо усереднення функцій від них по ансамблю приводить до того ж результату, що й усереднення за часом. Взаємна кореляційна функція спільно ергодичних процесів може бути визначена

. (3.31)

Для рішення багатьох практичних задач досить розглядати лише середні значення, дисперсії й КФ. Теорії, які обходяться лише цими характеристиками, називаються кореляційними теоріями. У рамках кореляційної теорії природно вважати стаціонарними такі випадкові процеси, у яких середнє значення й дисперсія процесу не залежать від часу, а КФ залежить лише від . Такі випадкові процеси називаються стаціонарними в широкому сенсі.