3 Опис випадкових процесів

3.1 Визначення випадкових процесів

У попередніх розділах розглянуті засоби опису детермінованих сигналів. Однак багато задач теорії й техніки зв'язку можуть бути вирішені тільки при описі сигналів і завад випадковими функціями. Випадкова функція якого-небудь аргументу – це така функція, що при кожному значенні аргументу є випадковою величиною. Випадкова функція часу називається випадковим (стохастичним) процесом. Наприклад, напруга завади на виході лінії зв'язку є випадковою функцією часу, тому що ця напруга залежить від безлічі заздалегідь не передбачених і неконтрольованих факторів, які змінюються у часі.

Позначимо випадковий процес, що розглядається, як X(t). Окремі спостереження над процесом, проведені в однакових контрольованих умовах досліду, дають щораз різні функції x(t) – різні реалізації випадкового процесу. Сукупність {x_k(t)} всіх можливих реалізацій даного випадкового процесу називається ансамблем (рис. 3.1). Статистичний підхід до опису випадкового процесу полягає в тому, що визначають деякі усереднені характеристики для ансамблю {x_k(t)} у цілому.

3.2 Імовірнісні характеристики випадкових процесів

Найбільш уживаними серед статистичних характеристик випадкових процесів є імовірнісні характеристики. Найпростіша з них – одновимірний розподіл імовірностей. Якщо фіксувати деякий момент часу t₁, то значення X(t₁) – випадкова величина, різні реалізації приймають різні значення. Нехай P{X(t₁)  x} – імовірність того, що в момент t₁ величина X(t₁) не перевищує деяке значення x (рис. 3.1). Тоді

(3.1)

називається одновимірною функцією розподілу ймовірностей випадкового процесу X(t).

Часткова похідна

, (3.2)

якщо вона існує, називається одновимірною густиною ймовірності випадкового процесу X(t) для моменту t₁.

Якщо з тексту ясно, що мова йде про одновимірний розподіл, то індекс 1 у функцій (3.1) і (3.2) опускають. З визначення функції (3.1) випливає, що при x₁ < x₂

– (3.3)

різниця значень функції розподілу визначає ймовірність потрапляння значень процесу X(t) у момент t₁ в інтервал (x₁, x₂). Застосовуючи (3.3) до визначення функції p(x, t₁), одержимо

або

– (3.4)

добуток дає наближене значення ймовірності потрапляння значень процесу X(t) у момент t₁ в інтервал (x, x + x) (рис. 3.1). Для довільного інтервалу (x₁, x₂)

. (3.5)

Застосовуючи (3.5) до (3.1), одержимо, що

. (3.6)

Співвідношення (3.3) і (3.5) виражають одне з основних призначень одновимірних функцій розподілу й густини ймовірності випадкового процесу.

Оскільки сумарна ймовірність усіх можливих значень процесу дорівнює одиниці, то

.

Останній вираз називається умовою нормування. Очевидно, що F(–∞, t₁) = 0, а діапазон можливих значень функції розподілу ймовірностей (0, 1).

Враховуючи, що F(x, t₁) за визначенням є ймовірністю потрапляння в інтервал, розмір якого збільшується зі збільшенням аргументу, вона є неспадаючою. Останнє обумовлює невід'ємність густини ймовірності p(x, t₁) ≥0.

Функції F₁(x, t₁) або p₁(x, t₁) у загальному випадку не можуть бути вичерпними характеристиками випадкового процесу. Адже цей процес, розглянутий у різні моменти часу, являє собою безліч випадкових величин, зв'язаних між собою статистичними залежностями. Зв'язок між двома значеннями випадкового процесу X(t) у моменти часу t₁ і t₂ ураховується двовимірною функцією розподілу ймовірностей і двовимірною густиною ймовірності.

Двовимірною функцією розподілу ймовірностей F₂(x₁, x₂, t₁, t₂) випадкового процесу X(t) називається ймовірність складної події, що полягає в тому, що в момент t₁ функція X(t) не перевищує деякого значення x₁, а в момент t₂ не перевищує значення x₂

. (3.7)

Двовимірною густиною ймовірності випадкового процесу X(t) називається часткова похідна другого порядку (якщо вона існує)

. (3.8)

Фіксуючи n = 3, 4, ... моментів часу, за аналогією з (3.7), знаходять n-вимірну функцію розподілу ймовірностей процесу X(t)

. (3.9)

Часткова похідна n-го порядку (якщо вона існує)

(3.10)

є n-вимірна густина імовірності процесу X(t). Величина визначає ймовірність складної події, яка полягає в тому, що в момент t₁ функція X(t) перебуває в інтервалі між x₁ і x₁ + dx₁, у момент t₂ – в інтервалі між x₂ і x₂ + dx₂ і т.д., зрештою, у момент t_n функція X(t) перебуває в інтервалі між x_n і x_n + dx_n. Інакше кажучи, n-вимірна густина імовірності, помножена на , визначає ймовірність проходження функції X(t) через n “щілин” (рис. 3.2), розміри яких , а ординати відповідно.

Чим більше значення n, тим повніше описано випадковий процес. Але одержання n-мірної густини ймовірності або n-мірної функції розподілу вимагає надзвичайно складної й трудомісткої обробки безлічі реалізацій x_k(t) процесу X(t), причому, чим більше n, тим більш складною і трудомісткою є обробка. Відзначимо, що для рішення багатьох задач достатньо знати одновимірний або двовимірний розподіл імовірностей, оскільки доводиться мати справу з так званими стаціонарними процесами.

Випадковий процес називається стаціонарним (у вузькому сенсі), якщо для будь-якого цілого числа n  1 і довільної послідовності справедлива рівність

, (3.11)

де t₀ – будь-яке значення. Інакше кажучи, розподіл імовірностей не залежить від початку відліку часу. Таким чином, статистичні характеристики стаціонарного процесу залишаються незмінними в часі.

З рівності (3.11) випливає, що

– (3.12)

одновимірна густина ймовірності стаціонарного випадкового процесу не залежить від часу.

Для двовимірної густини ймовірності рівність (3.11) приймає вид

.

Вважаючи, що t₀ = t₁, одержимо

, (3.13)

де  = t₂  t₁. З (3.13) випливає, що у стаціонарних процесів двовимірний розподіл імовірностей залежить не від самих моментів t₁ і t₂, а від їхньої різниці .

Далі будемо вважати, якщо не вказано іншого, то випадковий процес є стаціонарним.