2.9 Подання смугових сигналів

Смуговими (модульованими) називаються сигнали, у яких спектри не примикають до нульової частоти, їхні спектри зосереджені в смузі частот від f_min до f_max, і f_min > 0 (рис. 2.10). Для опису смугових сигналів уводять параметри: середня частота спектра f₀ = 0,5(f_min + f_max) і ширина спектра F = f_max – f_min. Для смугових сигналів, як правило, виконується співвідношення F << f₀, і тоді вони називаються вузькосмуговими. У часовій області вузькосмугові сигнали мають вигляд квазігармонічних коливань із середньою частотою f₀ (рис. 2.11).

Будь-який смуговий сигнал можна представити наступним математичним виразом:

(2.70)

де – обвідна смугового сигналу;

– повна фаза смугового сигналу.

Обвідна смугового сигналу це позитивно визначена функція, тобто , що, не перетинаючись із сигналом, має з ним спільні точки в моменти, коли значення сигналу на даному періоді максимальне.

Повна фаза смугового сигналу складається із трьох складових:

(2.71)

де – лінійна складова;

– приріст фази;

– початкова фаза.

Математичний опис смугових сигналів (2.70), підтверджує їх "квазігармонічність".

При описі смугових сигналів уводять поняття миттєвої частоти, оскільки зміна фази викликає зміну частоти сигналу. За визначенням частота сигналу це швидкість зміни його фази, тобто:

(2.72)

Інтеграл від миттєвої частоти дає повну фазу сигналу:

(2.73)

Широко використовується квадратурне подання смугових сигналів

(2.74)

де – синфазна або косинусна складова;

– квадратурна або синусна складова.

Якщо квадратурні складові й відомі, то можна знайти обвідну й повну фазу смугового сигналу:

(2.75)

(2.76)

Розповсюдженою формою подання смугових сигналів є комплексна форма :

(2.77)

При аналізі смугових сигналів у комплексній формі вводять поняття комплексної обвідної сигналу:

(2.78)

де – комплексна обвідна смугового сигналу.

Комплексна обвідна має наступну форму:

(2.79)

2.10 Аналітичний сигнал

Комплексний сигнал називається аналітичним, якщо є перетворення Гілберта від x(t). На рисунках комплексний сигнал зображують складеним з двох сигналів, як показано на рис. 2.12.

Перетворювач Гілберта – це лінійне коло, імпульсна реакція якого

. (2.80)

У будь-якому лінійному колі вихідний і вхідний сигнали зв'язані інтегралом Дюамеля. Тому

. (2.81)

Це співвідношення називається перетворенням Гілберта сигналу x(t). Знайдемо передатну функцію перетворювача Гілберта як перетворення Фур'є від імпульсної реакції

. (2.82)

або

(2.83)

Нехай S_x(j) – спектральна густина сигналу x(t). Тоді спектральна густина сигналу визначається

(2.84)

Знайдемо спектральну густину аналітичного сигналу

(2.85)

Ми виявили важливу властивість аналітичного сигналу – його спектр на від’ємних частотах дорівнює нулю (рис. 2.13).

Зворотне перетворення Гілберта

. (2.86)

Модуль аналітичного сигналу

(2.87)

є обвідною сигналу x(t), а аргумент

(2.88)

– фазою сигналу x(t).

З виразів (2.87) і (2.88) випливає, що аналітичний сигнал може бути записаний у вигляді:

. (2.89)

Таким чином, поняття обвідної й фази сигналу можуть застосовуватися не тільки до смугових, але й низькочастотним сигналів. Обвідна задовольняє двом умовам: A(t)  x(t)– функція A(t) ніде не перетинає функцію x(t) і в точках дотику функцій A(t) і x(t) їхні похідні збігаються: A(t) = x(t), тобто функції мають загальні дотичні.